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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:39 Mo 15.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] z_0 \in [/mm] D eine nicht hebbare Singularität der Funktion [mm] f:D\to\IC. [/mm] Zeige, dass [mm] z_0 [/mm] keine Polstelle der Funktion [mm] e^f [/mm] ist. |
Hallo,
ich habe mir einen Beweis durch Wiederspruch überlegt:
Angenommen [mm] z_0 [/mm] wäre eine Polstelle der Funktion [mm] e^f. [/mm] Es gilt:
[mm] e^f [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(f(z))^n}{n!}.
[/mm]
d.h Hauptteil der Laurentreihe ist gleich null. Dann muss [mm] z_0 [/mm] eine hebbare Singularität der Funktion f sein. Das ist aber ein Wiederspruch. Also Annahme ist falsch und [mm] z_0 [/mm] ist keine Polstelle der Funktion [mm] e^f.
[/mm]
Ist der Beweis korrekt? Das scheint mir nicht so kräftig zu sein.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:40 Mo 15.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es sei [mm]z_0 \in[/mm] D eine nicht hebbare Singularität der
> Funktion [mm]f:D\to\IC.[/mm] Zeige, dass [mm]z_0[/mm] keine Polstelle der
> Funktion [mm]e^f[/mm] ist.
>
> Hallo,
>
> ich habe mir einen Beweis durch Wiederspruch überlegt:
>
> Angenommen [mm]z_0[/mm] wäre eine Polstelle der Funktion [mm]e^f.[/mm] Es
> gilt:
>
> [mm]e^f[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(f(z))^n}{n!}.[/mm]
Ja. Zumindest fuer $z [mm] \neq z_0$. [/mm] (Fuer $z = [mm] z_0$ [/mm] ist $f(z)$ nicht definiert.)
> d.h Hauptteil der Laurentreihe ist gleich null.
Das ist keine Laurentreihe, sondern eine Funktionenreihe.
Nehmen wir mal testweise die Funktion $f(z) = [mm] \frac{1}{z}$; [/mm] diese erfuellt die Voraussetzungen. Dann ist [mm] $\exp(f(z)) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} z^{-n} [/mm] = [mm] \sum_{n=-\infty}^0 \frac{1}{(-n)!} z^n$. [/mm] Somit hat [mm] $\exp(f)$ [/mm] eine wesentliche Singularitaet in $z = 0$.
Deine Argumentation ist also falsch.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mo 15.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Hallo,
wie kann ich das sonst argumentieren? Ich komme einfach nicht weiter. Ich wäre dankbar, wenn einer mir einen Ansatz geben könnte.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mo 15.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> wie kann ich das sonst argumentieren? Ich komme einfach
> nicht weiter. Ich wäre dankbar, wenn einer mir einen Ansatz
> geben könnte.
Na, die Laurentreihenentwicklung von $f$ in die [mm] $\exp$-Reihe [/mm] einzusetzen ist schon eine gute Idee. Kannst du den Koeffizient von [mm] $x^{-n}$ [/mm] fuer $n [mm] \in \IN$ [/mm] beschreiben? Es reicht ja zu zeigen, dass unendlich viele davon [mm] $\neq [/mm] 0$ sind.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:24 Di 16.06.2009 | | Autor: | ftm2037 |
Das einzige, was mir einfällt ist:
[mm] e^f=\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{f^n}{n!} [/mm]
= [mm] \summe_{i=-1}^{-\infty} \bruch{1}{f*f^n}*\bruch{1}{n!}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{(-1)!}+f*\bruch{1}{(-2)!}+f^2*\bruch{1}{(-3)!}+f^3*\bruch{1}{(-4)!}+...
[/mm]
f hat in [mm] z_0 [/mm] nicht hebbare Singularität und in der Hauptteil der obigen Laurentreihe sind unendlich viele davon, die nicht verschwinden. Also dann hat [mm] e^f [/mm] in [mm] z_0 [/mm] eine wesentliche Singularität und keine Polstelle.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 18.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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