Funktionentheorie? Algebra? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Schwede |
| Aufgabe | | Gibt es eine reelles Polynom p(x) für das gilt [mm] (p(x))^2 [/mm] = [mm] p(x^2+1) [/mm] ? |
Dies ist eine Frage aus einen laufenden Wettbewerb (Kappa Wettbewerb der KTH Stockholm, für Mattelehrer). Ich will daher keine Lösung oder Ähnliches haben,sondern ich hätte gern ein Tipp wo ich anfangen kann was über Probleme solchen Typs zu lernen. Ich kan ganz einfach dieses Problem keinem Teilgebiet richtig zuordnen. Funktionentheorie? Algebra?
Mit dem Versuch einfach mal Polynome verschiedenen Grades kommt man nicht weiter, ableiten oder integrieren obiger Gleichung liefert (mir) keine neuen Informationen.
Wenn diese Frage schon gegen die Forenregeln verstösst, bitte einfach streichen.
Vielen Dank
Ralf
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mi 21.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Gibt es eine reelles Polynom p(x) für das gilt [mm](p(x))^2[/mm] =
> [mm]p(x^2+1)[/mm] ?
> Dies ist eine Frage aus einen laufenden Wettbewerb (Kappa
> Wettbewerb der KTH Stockholm, für Mattelehrer). Ich will
> daher keine Lösung oder Ähnliches haben,sondern ich hätte
> gern ein Tipp wo ich anfangen kann was über Probleme
> solchen Typs zu lernen. Ich kan ganz einfach dieses Problem
> keinem Teilgebiet richtig zuordnen. Funktionentheorie?
> Algebra?
>
> Mit dem Versuch einfach mal Polynome verschiedenen Grades
> kommt man nicht weiter,
Geht da kein Koeffizientenvergleich?
Wenn beide Terme identisch wären, müssten sie auch die gleichen Nullstellen liefern und demzufolge die gleiche Linearfaktorzerlegung besitzen.
Viele Grüße
Abakus
> ableiten oder integrieren obiger
> Gleichung liefert (mir) keine neuen Informationen.
>
> Wenn diese Frage schon gegen die Forenregeln verstösst,
> bitte einfach streichen.
>
> Vielen Dank
>
> Ralf
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Sa 24.05.2008 | | Autor: | anstei |
Hallo Ralf,
Dies ist eine typische Aufgabe aus Mathematikwettbewerben wie Bundeswettbewerb, Mathe-Olympiade, etc. Um solche zu lösen, braucht es meist einen (elementaren) Kniff, jedoch keine höhere Mathematik in irgend einer Art und Weise (auch wenns damit oft auch geht...) Das Entdecken dieser Kniffe ist vor allem Übungssache und Training, wobei ein wenig Theorie natürlich auch nicht schadet. Viele Aufgaben in ähnlichem Stil finden sich in Arthur Engels Buch ''Problem Solving Strategies'', welches als Standardwerk für die Vorbereitung auf Wettbewerbe gilt.
Falls du einen Hinweis zur Lösung obiger möchtest, kann ich dir einen geben. Wie gesagt, es braucht eine Idee, und die Lösung steht schon fast da.
Viele Grüsse,
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Di 03.06.2008 | | Autor: | Schwede |
Ein Tipp wäre natürlich sehr hilfreich. Einfach mal ein paar polynome probieren und dann koeffizientenvergleich führt irgendwie zu nichts. Ich hab auch schon versucht [mm] x^2+1 [/mm] in (x+i)(x-i) zu zerlegen aber auch damit komme ich nicht richtig weiter.
Ein kleiner tipp wäre sehr schön ...
(hatte die frage eingetlich schon ad akta gelegt ....)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Di 03.06.2008 | | Autor: | anstei |
Jänich hat mal in seinem Funktionentheorie-Buch folgenden Satz als Hinweis zu einer Aufgabe geschrieben:
``Schon der kleinste Hinweis kann diese seifenblasenzarte Aufgabe zum Platzen bringen. Ich mache deshalb nur die kryptische Bemerkung, dass 1 die einzige positive Zahl ist, die samt ihrem Kehrwert nicht grösser als 1 ist.'' (Seite 34, wen's interessiert)
Der erste Teil der Aussage stimmt auch für diese Aufgabe, und als kryptische Bemerkung liesse sich hierzu wohl sagen, dass das einzige Polynom mit unendlich vielen Nullstellen das Null-Polynom ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Di 03.06.2008 | | Autor: | Schwede |
Ein Tipp der wohl ein paar Tage in meinem Hirn vor sich hin gären muss ...
Sollte wohl dabei schreiben dass ich alle Lösungen angeben soll.
Ich werde mitteilen wenn ich aufgebe.
Danke erstmal
Ralf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Di 03.06.2008 | | Autor: | pelzig |
Also das Nullpolynom erfüllt die Bedingung ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Di 03.06.2008 | | Autor: | anstei |
Stimmt. Gibt es weitere? Wieviele gibt es genau? Viel Spass beim Weiterknobeln, ich hab natürlich die Lösungen dazu. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Mi 04.06.2008 | | Autor: | pelzig |
Also es gibt da natürlich noch die anderen beiden trivialen (d.h. konstanten Polynome). Für Grad größergleich 1 bin ich noch auf keine nennenswerten Ergebnisse gekommen, aber vielleicht schau ich es mir bei Gelegenheit nochmal an. Meine Intuition sagt mir es gibt höchstens abzählbar viele 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Schwede |
Ich sehe gerade dass ich die Aufgabe falsch geschrieben habe!!!!!
Es muss heissen:
Gibt es reelle Polynome für die gilt [mm] (p(x))^2 [/mm] -1 = [mm] p(x^2 [/mm] + 1) . Wenn ja, welche sind das?
Grrrrrrrrrrrrrr. Seit zwei Wochen am falschen Problem geknobelt.
Ralf. (Idiot)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Mi 04.06.2008 | | Autor: | anstei |
Dieses Problem ist schon ein bisschen schwieriger, aber auch nicht viel. Die Lösung dürfte hier am schnellsten über die Anzahl Monome (d.h. verschiedene Grade), die auftauchen können, gehen.
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