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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Sa 23.05.2015 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | Aufgabe:
Es seien G, G' Gebiete.
a) [mm] f:G\toG' [/mm] eine biholomorphe Funktion. [mm] c\inG, \gamma:[0,1]\toG [/mm] ein einfach geschlossener nullhomologer Integrationsweg mit [mm] c\not\in sp(\gamma). [/mm]
Zu zeigen: [mm] n(f\circ\gamma, [/mm] f(c)) = [mm] n(\gamma, [/mm] c).
HINWEIS: Benutzen sie die verallgemeinerte CIF für die Funktion [mm] h(z)=f'(z)*\bruch{z-c}{f(z)-f(c)} [/mm] falls [mm] z\inG\{c} [/mm] und h(z)=1 falls z=c.
b) [mm] \IC\G [/mm] ist unbeschränkt und zusammenhängend. Zu zeigen, dass G einfach zusammenhängend ist.
HINWEIS: Benutzen Sie den Satz: Ein Gebiet G ist einfach zusammenhängend [mm] \gdw [/mm] gilt: [mm] \forall A_{1},A_{2} [/mm] abgeschlossen mit [mm] \IC\G [/mm] = [mm] A_{1}\cupA_{2} [/mm] (disjunkte Vereinigung). |
Hallo, ich habe zu diesen beiden Aufgabenteilen folgende Fragen:
Bei Aufgabenteil a) verstehe ich nicht richtig wie ich die Funktion h benutzen soll, also in wiefern mir h bei der Lösung dieser Aufgabe hilft. Die CIF lautet: [mm] n(\gamma, z)*f^{(n)}(z)=\bruch{n!}{2\pii}\integral_{\gamma}{\bruch{f(\beta)}{(\beta-z)^{n+1}} d\beta}. [/mm] Ich habe versucht h an Stelle von f in diese Formel einzusetzen und dann beide Seiten der Gleichung auszurechnen, aber ich kriege kein Resultat raus, aus dem man folgern könnte, dass beide gleich sind.
Zu b): Hier verstehe ich auch nicht so richtig was ich mit diesem Hinweis anfangen soll, also wie ich den am Besten benutzen kann. Ich habe mir gedacht, dass man vielleicht aus Ana2 folgern kann dass eins der beiden A's die leere Menge sein muss, weil [mm] \IC [/mm] zusammenhängend ist, G ist auch zusammenhängend weil G ja ein Gebiet ist und daraus folgt dann dass [mm] \IC\G [/mm] auch zusammenhängend ist(darf man das so folgern?) und somit nicht in zwei disjunkte, nicht-leere Teilmengen zerlegt werden kann. Aber ich weiß auch nicht so richtig wie mir das weiterhelfen kann.
Liebe Grüße, MinLi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Sa 23.05.2015 | | Autor: | MinLi |
Ich habe gerade gesehen dass das mit den Formeln bei mir nicht so richtig geklappt hat. Also bei der Teilaufgabe a) sollte 'f:G nach G' ' stehen und beim Hinweis beim ersten h(z) ist z aus G ohne c.
Und bei Teilaufgabe b) beim Hinweis steht nach dem [mm] \gdw \IC [/mm] ohne G = [mm] A_{1} [/mm] disjunkt vereinigt mit [mm] A_{2}.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Mo 25.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Aufgabe:
> Es seien G, G' Gebiete.
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> a) [mm]f:G\toG'[/mm] eine biholomorphe Funktion. [mm]c\inG, \gamma:[0,1]\toG[/mm]
Ist das schlampig ! Korrekt:
[mm]f:G \to G'[/mm] eine biholomorphe Funktion. [mm]c \in G, \gamma:[0,1]\toG[/mm]
> ein einfach geschlossener nullhomologer Integrationsweg mit
> [mm]c\not\in sp(\gamma).[/mm]
> Zu zeigen: [mm]n(f\circ\gamma,[/mm] f(c)) = [mm]n(\gamma,[/mm] c).
> HINWEIS: Benutzen sie die verallgemeinerte CIF für die
> Funktion [mm]h(z)=f'(z)*\bruch{z-c}{f(z)-f(c)}[/mm] falls [mm]z\inG\{c}[/mm]
> und h(z)=1 falls z=c.
>
> b) [mm]\IC\G[/mm] ist unbeschränkt und zusammenhängend. Zu zeigen,
> dass G einfach zusammenhängend ist.
> HINWEIS: Benutzen Sie den Satz: Ein Gebiet G ist einfach
> zusammenhängend [mm]\gdw[/mm] gilt: [mm]\forall A_{1},A_{2}[/mm]
> abgeschlossen mit [mm]\IC\G[/mm] = [mm]A_{1}\cupA_{2}[/mm] (disjunkte
> Vereinigung).
Aufgabe b) ist so wie sie dasteht völliger Murks . Schreibe das mal korrekt auf.
> Hallo, ich habe zu diesen beiden Aufgabenteilen folgende
> Fragen:
> Bei Aufgabenteil a) verstehe ich nicht richtig wie ich die
> Funktion h benutzen soll, also in wiefern mir h bei der
> Lösung dieser Aufgabe hilft. Die CIF lautet: [mm]n(\gamma, z)*f^{(n)}(z)=\bruch{n!}{2\pii}\integral_{\gamma}{\bruch{f(\beta)}{(\beta-z)^{n+1}} d\beta}.[/mm]
> Ich habe versucht h an Stelle von f in diese Formel
> einzusetzen und dann beide Seiten der Gleichung
> auszurechnen, aber ich kriege kein Resultat raus, aus dem
> man folgern könnte, dass beide gleich sind.
Zu a) Berechne mal [mm] $n(\gamma,c)h(c)$ [/mm] mit der verallgemeinerten CIF. Setze dann [mm] $\Gamma= [/mm] f [mm] \circ \gamma$ [/mm] und schau , was passiert.
FRED
>
> Zu b): Hier verstehe ich auch nicht so richtig was ich mit
> diesem Hinweis anfangen soll, also wie ich den am Besten
> benutzen kann. Ich habe mir gedacht, dass man vielleicht
> aus Ana2 folgern kann dass eins der beiden A's die leere
> Menge sein muss, weil [mm]\IC[/mm] zusammenhängend ist, G ist auch
> zusammenhängend weil G ja ein Gebiet ist und daraus folgt
> dann dass [mm]\IC\G[/mm] auch zusammenhängend ist(darf man das so
> folgern?) und somit nicht in zwei disjunkte, nicht-leere
> Teilmengen zerlegt werden kann. Aber ich weiß auch nicht
> so richtig wie mir das weiterhelfen kann.
> Liebe Grüße, MinLi
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mo 25.05.2015 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | | b) Sei G ein Gebiet, sodass [mm] \IC [/mm] \ G unbeschränkt und zusammenhängend. Zeigen Sie, dass G einfach zusammenhängend ist. |
Zu Aufgabenteil a): Ich habe nun [mm] n(\gamma [/mm] , c)h(c) mit der verallgemeinerten CIF ausgerechnet und ich kriege n(f [mm] \circ \gamma, [/mm] f(c)) raus. Kann ich nun nach Konstruktion der Funktion h folgern, dass h(c)=1 und somit [mm] n(\gamma [/mm] , c) = n(f [mm] \circ \gamma, [/mm] f(c)) gilt?
MinLi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Mo 25.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> b) Sei G ein Gebiet, sodass [mm]\IC[/mm] \ G unbeschränkt und
> zusammenhängend. Zeigen Sie, dass G einfach
> zusammenhängend ist.
> Zu Aufgabenteil a): Ich habe nun [mm]n(\gamma[/mm] , c)h(c) mit der
> verallgemeinerten CIF ausgerechnet und ich kriege n(f [mm]\circ \gamma,[/mm]
> f(c)) raus. Kann ich nun nach Konstruktion der Funktion h
> folgern, dass h(c)=1 und somit [mm]n(\gamma[/mm] , c) = n(f [mm]\circ \gamma,[/mm]
> f(c)) gilt?
Ja, nach definition ist h (c)=1
Fred
> MinLi
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