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| Aufgabe | [mm] f(x)=(0.5x-k)*e^{\bruch{1}{k}x}
[/mm]
Finden Sie die Stammfunktion.
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Hey Leute,
hier mein Lösungsweg mit partieller Integration:
[mm] \integral_{a}^{b}{(0.5x-k)*e^{\bruch{1}{k}x} dx}=(0.5x-k)*k*e^{\bruch{1}{k}x}-[0.5\integral_{a}^{b}{e^{z} dz}]
[/mm]
[mm] =(0.5x-k)*k*e^{\bruch{1}{k}x}-\bruch{k}{2}e^{\bruch{1}{k}x}
[/mm]
[mm] (0.5x-k-0.5)*k*e^{\bruch{1}{k}x}
[/mm]
Wo ist mein Fehler?
Grüße Daniel
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Hallo!
Oben beim zweiten Integral hast du ein k verschludert 
Du brauchst den Exponenten bei der e-Funktion übrigens nicht zu substituieren.
[mm] \integral_{a}^{b}{(0,5x-k)e^{\bruch{x}{k}} dx}=(0,5x-k)ke^{\bruch{x}{k}}-\integral_{a}^{b}{0,5ke^{\bruch{x}{k}} dx}=(0,5x-k)ke^{\bruch{x}{k}}-0,5k\integral_{a}^{b}{e^{\bruch{x}{k}} dx}=... [/mm] und nun einfach [mm] e^{\bruch{x}{k}} [/mm] integrieren und du bist fertig. Kannst dann ja mal am ende die Lösung aufschreiben dann können wir dir sagen ob du richtig gerechnet hast.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Super.... :D
Danke, mein wahrscheinlich richtiges Ergebnis ist nun
[mm] F(x)=(x-3k)*\bruch{k}{2}*e^{\bruch{1}{k}x}
[/mm]
Darf ich dich übrigens fragen was du studierst und welches Semester du bist ;)?
Gruß
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Hallo!
Ja dein Ergebnis stimmt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich studiere Meteorologie im 5.Semester und bin in Mathe im 1. Fachsemester!
Gruß
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| Aufgabe | Eine weitere Zwischenfrage zu der Aufgabe hätt ich noch:
[mm] F_{k}(x)=\bruch{k}{2}(x-3k)*e^{\bruch{1}{k}*x} [/mm] (Stammfunktion, die wir ja gerade errechnet hatten)
Der Graph der Funktion [mm] f_{k} [/mm] und die Koordiantenachsen begrenzen eine Fläche vollständig. Berechnen Sie ohne Verwendung von Näherungswerten den Wert k, für den der Inhalt dieser Fläche [mm] \bruch{2}{9}(e^2-3) [/mm] beträgt.
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Hey
die obere Grenze ist bei der Nullstelle 2k, und die untere bei a (wobei a gegen minus unendlich geht)
[mm] F_{k}(x)=[\bruch{k}{2}(x-3k)*e^{\bruch{1}{k}*x}] [/mm] mit 2k und a
für a geht der Ausdruck gegen null, jetzt setzt ich 2k ein und nehme den Betrag, somit erhalte ich
[mm] A(x)=\bruch{k^2}{2}*e^2 [/mm]
Jetzt setze ich gleich
[mm] \bruch{2}{9}(e^2-3)=\bruch{k^2}{2}*e^2
[/mm]
wobei ich erstmal das Ergebnis der Ergebnisfläche A(k) nach z substituiere z = [mm] \bruch{2}{9}(e^2-3)
[/mm]
Jetzt lös ich nach k auf und erhalte
k= [mm] \wurzel{\bruch{2z}{e^2}} [/mm] /resuppen
k= [mm] \bruch{\wurzel{\bruch{4}{9}(e^3-3)}}{e}
[/mm]
k=1,0137
wenn ich das einsetze, kommt auch nich die richtige Fläche raus :(...
Liebe Grüße, Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 So 17.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
In Der Aufgabe ist gegeben, dass die Koordinatenachsen und f die Fläche begrenzen.
Als musst du das k wie folgt berechnen:
[mm] A=\integral_{\red{0}}^{2k}{f(x)dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow\bruch{2}{9}(e^{2}-3)=F_{k}(2k)-F_{k}(0)
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{2}{9}(e^{2}-3)=\bruch{k}{2}(2k-3k)\cdot{}e^{\bruch{2k}{k}}-\bruch{k}{2}(0-3k)\cdot{}e^{\bruch{0}{k}}
[/mm]
[mm] \gdw...
[/mm]
Marius
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Hey,
woher willst du wissen das die Teilfläche im 4 Quadranten gemeint ist? (Dann würde dein Integralstimmen)
Das wird in der Aufgabenstellung für mich nicht klar.
Denn der Graph [mm] f_{2} [/mm] schließt 2 Flächen jeweils links und rechts der negativen y-Achse mit der x-Achse ein....(--> Plotter)
[mm] f__{2}(x)=(0.5x-2)*e^{0.5x}
[/mm]
Man könnte die Fläche die der Graph jeweils mit den Koordinaten-Achsen einschließt also getrennt berechnen oder.. meiner Meinung nach einfach die "komplette" Fläche die begrenzt ist unter der x - Achse berechnen.
Übrigens hab ich mich vertan beim einsetzen des k wertes vertan...der Wert der Fläche stimmt für mein k.
wenn ich trotzdem irgendwelche Logikfehler habe, macht mich bitte drauf aufmerksam :)
Bin mir da aber relativ sicher ;)
Grüße, Daniel
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> woher willst du wissen das die Teilfläche im 4 Quadranten
> gemeint ist? (Dann würde dein Integralstimmen)
> Das wird in der Aufgabenstellung für mich nicht klar.
Hallo,
ich würde das auch so interpretieren wie Marius.
Da steht ja "Der Graph der Funktion $ [mm] f_{k} [/mm] $ und die Koordiantenachsen begrenzen eine Fläche vollständig".
Daher würde ich ganz klar die Fläche zwischen Graphen und x-Achse berechen zwischen 0 und der Nullstelle 2k. (Welcher Quadrant das ist, hängt vom k ab. Entweder II oder IV.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 So 17.02.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
Hey Marius und Angelika!
Jaa, ich bin wohl über das Wörtchen "vollständig" gestolpert :)
Damit würde ich es nun doch auch so ebenso sehen.
Dann werde ich wohl das ganze nochmal neu rechnen xD
Schadet ja nicht^^.
Vielen Dank für den Hinweiß.
Daniel
EDIT : Ups das sollte garkeine Frage werden, sry! Macht das mal bitte einer Weg. Ich glaube, diese Befugnis habe ich nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 So 17.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
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> Jaa, ich bin wohl über das Wörtchen "vollständig"
> gestolpert :)
> Damit würde ich es nun doch auch so ebenso sehen.
>
> Dann werde ich wohl das ganze nochmal neu rechnen xD
> Schadet ja nicht^^.
Du brauchst ja nur die untere Grenze ändern, wenn ich das richtig sehe
>
> Vielen Dank für den Hinweiß.
>
> Daniel
>
>
> EDIT : Ups das sollte garkeine Frage werden, sry! Macht das
> mal bitte einer Weg. Ich glaube, diese Befugnis habe ich
Erledigt
Marius
> nicht.
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Hey, schaut noch mal meinen Rechnenweg an, ich werd verrückt hier :-(
$ [mm] \gdw\bruch{2}{9}(e^{2}-3)=\bruch{k}{2}(2k-3k)\cdot{}e^{\bruch{2k}{k}}-\bruch{k}{2}(0-3k)\cdot{}e^{\bruch{0}{k}} [/mm] $
[mm] \bruch{2}{9}(e^{2}-3)=\bruch{-k^2*e^2+3k^2}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{9}(e^{2}-3)=\bruch{-k^2(e^2-3)}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{4}{9}(e^{2}-3)=-k^2(e^2-3)
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{4}{9}(e^{2}-3)}{(e^2-3)}=-k^2
[/mm]
[mm] \wurzel{4/9}=-k
[/mm]
k= -2/3
Leider kommt nich die gewünschte Fläche raus! :-(
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Hallo Blaub33r3,
> Hey, schaut noch mal meinen Rechnenweg an, ich werd
> verrückt hier :-(
>
> [mm]\gdw\bruch{2}{9}(e^{2}-3)=\bruch{k}{2}(2k-3k)\cdot{}e^{\bruch{2k}{k}}-\bruch{k}{2}(0-3k)\cdot{}e^{\bruch{0}{k}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{9}(e^{2}-3)=\bruch{-k^2*e^2+3k^2}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{9}(e^{2}-3)=\bruch{-k^2(e^2-3)}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{4}{9}(e^{2}-3)=-k^2(e^2-3)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{4}{9}(e^{2}-3)}{(e^2-3)}=-k^2[/mm]
Aus einer negativen Zahl kann man keine Wurzel ziehen.
>
> [mm]\wurzel{4/9}=-k[/mm]
>
> k= -2/3
>
> Leider kommt nich die gewünschte Fläche raus! :-(
>
>
bei der Fläche [mm]\bruch{2}{9}(e^{2}-3)[/mm] handelt es sich um einen orientierten Flächeninhalt, will heissen die Fläche ist negativ, da [mm]e^{2}<3[/mm]
Aus der Integration heraus ergibt sich aber [mm]\bruch{k^{2}}{2} \left(3-e^{2} \right)[/mm], also ein positiver Flächeninhalt.
Um diese beiden Flächeninhalte zu vergleichen, nimmste von dem orientierten Flächeninhalt den Betrag:
[mm]\vmat{\bruch{2}{9}(e^{2}-3) }=\bruch{2}{9}\left(3-e^{2}\right) =\bruch{k^{2}}{2} \left(3-e^{2} \right)[/mm]
Dann passt auch Deine Rechnung.
Gruß
Mathepower.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 So 17.02.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
asdf
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Hey MatherPower,
so ganz hab ich das noch nicht verstanden, wie kann die Betragsstriche anwenden damit das klappt und wieso ist $ [mm] e^{2} [/mm] $ < 3 denn es ist doch umgekehrt --> $ [mm] e^2 [/mm] $ ist größer als 3 !?
gruß, daniel
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Hallo Blaub33r3,
> Hey MatherPower,
>
> so ganz hab ich das noch nicht verstanden, wie kann die
> Betragsstriche anwenden damit das klappt und wieso ist
> [mm]e^{2}[/mm] < 3 denn es ist doch umgekehrt --> [mm]e^2[/mm] ist größer
> als 3 !?
Hast ja recht.
Dann setze eben die zweite Fläche in Betragsstriche.
>
> gruß, daniel
>
>
Gruß
MathePower
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Tut mir leid, aber würde ich fragen, wenn ich wüsste, wie das jetzt zumachen ist?....auch wenns für dich jetzt sau einfach ist, ich weiß nicht wie das jetzt geht :-(
Wie setze und arbeite ich jetzt mit den Betragsstrichen algebraisch bezogen auf meine Aufgabe mit der 2ten Fläche?...Bitte könnte sich sich einer aufraffen und mir das mal in Ruhe zeigen? Wär total super! Ich bekomme für das k auch einen falschen Flächeninhalt raus!
Grüße Daniel
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Hallo,
Du suchst also den Wert von k, für den zwischen dem Graphen und den Koordinateneachsen die Fläche $ [mm] \bruch{2}{9}(e^2-3) [/mm] $ eingeschlossen wird.
Die Fläche ist der Betrag des Integrals.
Also soll gelten
[mm] \bruch{2}{9}(e^2-3)=|\integral_{0}^{2k}{f_k(x) dx}|=|F_k(2k)-F_k(0)|.
[/mm]
Dies ist zu lösen.
Wenn wir das verwenden, was Du irgendwo zuvor schon gerechnet hast, kommen wir zu
$ [mm] \bruch{4}{9}(e^{2}-3)=|-k^2(e^2-3)| $=k^2(e^2-3)
[/mm]
==> [mm] \bruch{4}{9}=k^2
[/mm]
Damit solltest Du dicht am Ziel sein.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 So 17.02.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
Alles klar, vielen Dank!
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