Funktionschar bestimmen < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Do 13.09.2012 | | Autor: | Coco96 |
| Aufgabe | | Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 8.Grades mit folgenden Eigenschaften: Der Graph zu f ist symetrisch zur y-Achse und verläuft durch den Punkt P(0/8). Ferner hat der Graph in P2(2/8) einen Extrempunkt. Zudem verläuft er Graph durch die Punkte P3(xp/4) und P4(-xp/4) sowie durch den punkt P5(1/8). Bestimmen sie die Funktionsgleichung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Bedingugngen für diese Funktion schon aufgestelt:
f(0)=8
f(2)=8
f(1)=8
f´(2)=0
die funktionsgleichung wäre ja:
f(x)= [mm] ax^8+bx^6+cx^4+dx^2+e
[/mm]
ich benötige aber 5 Bedingungen um diese Funktion aufzustellen, jedoch habe ich nur 4. Ich habe ja noch den Punkt P3 und P4, jedoch weiss ich nicht wie ich diese verwenden soll als parameter.
Ich habe versucht das im Taschenrechner mit der Matrix zu lösen, aber da kommen komische Zahlen raus. Ich würde mich sehr über eure hilfe freuen :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Do 13.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Coco,
Frage: Soll die Stelle [mm] x_p [/mm] ein weiterer Extrempunkt sein? Dann hätte man ja noch ein paar Informationen zur Verfügung und somit vermutlich auch die exakte Lösung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Do 13.09.2012 | | Autor: | Coco96 |
Hallo richi,
nein es ist kein weiterer extrempunkt, sondern nur ein "einfacher" Punkt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Do 13.09.2012 | | Autor: | Tea |
Gibt es über die Symmetrieeigenschaften die Möglichkeit, an weitere Infos zu gelangen?
Bspw.: P2 ist Extrempunkt, daraus folgt (-2/8) ist ebenfalls Extrempunkt?
Nur eine kurze Anmerkung, aber vielleicht hilft es ja weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Do 13.09.2012 | | Autor: | Coco96 |
Hallo Tea
Nein, ich habe nur einen Extrempunkt bei (2/8).
Ich habe die aufgabenstellung genau so abgeschrieben, wie sie auf meinen AB draufstand.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Do 13.09.2012 | | Autor: | Coco96 |
So, ich bin jetzt schon ein bisschen weiter, aber ich weiss jetzt nicht mehr weiter :(
Für:
a= -(11/80)d
b= (15/16)d
c= -(5/9)d
e= 8
Was muss ich jetzt tun?
|
|
|
| |
|
Hallo!
Das Symmetrie-Argument zieht leider nicht, denn wenn f(1)=8 gilt, gilt auch f(-1)=8 , und das führt zu:
$8= [mm] a*1^8+b*1^6+c*1^4+d*1^2+e [/mm] $
sowie
$8= [mm] a*(-1)^8+b*(-1)^6+c*(-1)^4+d*(-1)^2+e [/mm] $
und wegen der graden Exponenten ist das identisch mit der ersten Formel.
Es wird hier tatsächlich so sein, daß nach einer Kurvenschar gefragt ist, sodaß [mm] x_p [/mm] auch in der Lösung stehen wird.
Demnach lautet die Bedingung
$4= [mm] a*x_p^8+b*x_p^6+c*x_p^4+d*x_p^2+e [/mm] $
(Die Bedingung mit dem [mm] -x_p [/mm] bringt nix, aus dem o.g. Grund)
Dieses [mm] x_p [/mm] wird wie eine Konstante, also wie eine der gegebenen x-Werte behandelt, das mag bei der Rechnung ungewohnt sein, aber versuchs mal.
Aus der Bedingung f(0)=8 folgt sofort e=8. Versuche aus den übrigen Bedingungen ohne das [mm] x_p [/mm] drei weitere Parameter zu bestimmen, und setze diese dann in
$4= [mm] a*x_p^8+b*x_p^6+c*x_p^4+d*x_p^2+e [/mm] $
ein. Es bleibt dann nur noch ein Parameter übrig, nach dem du diese Gleichung auflösen kannst. Das ist alles.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Do 13.09.2012 | | Autor: | Coco96 |
Okay, aber ich habe das nicht so ganz vestanden, was du mit "Versuche aus den übrigen Bedingungen ohne das drei weitere Parameter zu bestimmen" meintest, könntest du das bitte für mich noch einmal erklären?
Danke :)
|
|
|
| |
|
Hallo!
Im Prinzip ist das gar nicht so knackig, wie hier behauptet wurde. Du hast die Antwort auch fast schon selbst gegeben, indem du erstmal ohne diese Bedingung gerechnet hast, und auf
a= -(11/80)d
b= (15/16)d
c= -(5/9)d
e= 8 (Nicht nachgerechnet!)
gekommen bist. Die Bedingung mit dem [mm] x_p [/mm] lautet ja nun:
$ 4= [mm] a\cdot{}x_p^8+b\cdot{}x_p^6+c\cdot{}x_p^4+d\cdot{}x_p^2+e [/mm] $
Hier kannst du die bekannten Parameter einsetzen:
$ 4= [mm] -\frac{11}{80}d\cdot{}x_p^8+\frac{15}{16}d\cdot{}x_p^6-\frac{5}{9}d\cdot{}x_p^4+d\cdot{}x_p^2+8 [/mm] $
$ 4= [mm] \left(-\frac{11}{80}\cdot{}x_p^8+\frac{15}{16}\cdot{}x_p^6-\frac{5}{9}\cdot{}x_p^4+\cdot{}x_p^2\right)*d [/mm] +8$
und damit ist d gegeben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:58 Do 13.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
ja, und das zu lösen ist wohl dann ziemlich knackig. Allein wegen den ganzen Potenzen von [mm] x_p
[/mm]
Ich habe das entstandene System schnell einmal mit Mathematica berechnet.
Ich würde sagen: Viel Spaß beim Lösen per Hand. ;)
|
|
|
| |
|
Mit dem Ansatz
[mm]f(x) = a \cdot x^8 + b \cdot x^6 + c \cdot x^4 + d \cdot x^2 + 8[/mm]
hat man den Punkt [mm]P_1[/mm] bereits versorgt. Die restlichen Bedingungen ohne [mm]P_3[/mm] und [mm]P_4[/mm] liefern ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen in den vier Unbekannten [mm]a,b,c,d[/mm]. Es besitzt unendlich viele Lösungen. Setzt man mit [mm]t[/mm] als Parameter [mm]d=-16t[/mm] an, so findet man
[mm]a = t \, , \ b = -9t \, , \ c = 24t \, , \ d = -16t[/mm]
Es kommen daher nur Funktion [mm]f_t[/mm] der Gestalt
[mm]f_t(x) = 8 + t \cdot \left( x^8 - 9x^6 + 24x^4 -16x^2 \right)[/mm]
als Lösungen der Aufgabe in Frage.
i) Als erstes kann man [mm]t=0[/mm] ausschließen, denn die Lösungen sollen ja vom Grad 8 sein.
ii) Für [mm]t<0[/mm] strebt [mm]f_t(x)[/mm] gegen [mm]- \infty[/mm], wenn [mm]x[/mm] gegen [mm]\pm \infty[/mm] strebt. Da [mm]f_t[/mm] den Wert 8 annimmt, muß es also beim Funktionswert 4 von [mm]P_3[/mm] und [mm]P_4[/mm] vorbeikommen. Damit sind alle [mm]f_t[/mm] mit [mm]t<0[/mm] Lösungen der Aufgabe.
iii) Wenn [mm]t>0[/mm] ist, gilt [mm]f_t(x) \to \infty[/mm] für [mm]x \to \pm \infty[/mm]. Damit nimmt [mm]f_t[/mm] ein globales Minimum an. Nur wenn dieses globale Minimum [mm]\leq 4[/mm] ist, nimmt [mm]f_t[/mm] den Wert 4 an.
Eine Kurvendiskussion zeigt, daß das globale Minimum unabhängig von [mm]t[/mm] bei [mm]x^{\*} = \sqrt{\frac{1}{8} \left( 11 - \sqrt{57} \right)}[/mm] angenommen wird. Die Gleichung [mm]f_t \left( x^{\*} \right) = 4[/mm] liefert dann die untere Grenze [mm]t^{\*}[/mm] der zulässigen [mm]t[/mm]-Werte. Für alle [mm]t \geq t^{\*}[/mm] sind die [mm]f_t[/mm] Lösungen der Aufgabe.
Zusammengefaßt: Die sämtlichen Lösungen der Aufgabe sind die [mm]f_t[/mm] von oben mit [mm]t \not \in [0,t^{\*})[/mm].
|
|
|
|
