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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:46 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Funktionsfolge [mm] \{f_n\}_{n\in\IN} [/mm] mit Eigenschaften:
i) [mm] f_n:[0,1]\to[0,\infty), [/mm] stetig
ii) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)= [/mm] 0 [mm] \forall x\in[0,1]
[/mm]
iii) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup(\integral_{0}^{1}{f(x) dx})>0 [/mm] |
Hallo,
ja ich hab wohl in der Vorlesung nicht ganz zugehört. Unser Professor hat die Eigenschaften zwar angeschrieben, aber ein Beispiel für so eine Folge hat er leider nur genannt. Nun wollte ich nochmal schauen, ob ich was finde, aber leider ohne Erfolg.
Kann mir vielleicht Jemand ein, oder ein paar Beispiele nennen, für Folgen mit den Eigenschaften?
Gruß
Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Mi 10.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Funktionsfolge [mm]\{f_n\}_{n\in\IN}[/mm] mit Eigenschaften:
>
> i) [mm]f_n:[0,1]\to[0,\infty),[/mm] stetig
> ii) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=[/mm] 0 [mm]\forall x\in[0,1][/mm]
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> iii) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup(\integral_{0}^{1}{f(x) dx})>0[/mm]
>
> Hallo,
>
> ja ich hab wohl in der Vorlesung nicht ganz zugehört.
.......... na, na, Du böser Bube , Du .............
> Unser Professor hat die Eigenschaften zwar angeschrieben,
> aber ein Beispiel für so eine Folge hat er leider nur
> genannt. Nun wollte ich nochmal schauen, ob ich was finde,
> aber leider ohne Erfolg.
>
> Kann mir vielleicht Jemand ein, oder ein paar Beispiele
> nennen, für Folgen mit den Eigenschaften?
Versuchs mal damit:
[mm] f_n [/mm] sei =0 im Intervall [0, 1/n] und im Intervall [2/n,1]
im Intervall [1/n, 2/n] sei der Graph von f ein Dreieck mit Flächeninhalt 1
(etwas ungenau formuliert, aber hoffentlich verständlich)
Skizze !!
FRED
>
> Gruß
> Kayle
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Hallo Fred,
vielen Dank für deinen Tipp, ich hoffe ich habe ihn richtig umgesetzt:
Ich habe also eine Folge von Funktionen im Intervall [0,1]
Es gilt:
f=0, in [0, [mm] \bruch{1}{n}]
[/mm]
f hat die Form eines Dreiecks mit A=1, in [mm] [\bruch{1}{n},\bruch{2}{n}]
[/mm]
f=0, in [mm] [\bruch{2}{n}, [/mm] 1]
d.h. für n=1 ist f überall 0,
n=2, f ist 0 in [0, [mm] \bruch{1}{2}] [/mm] und beschreibt ein Dreieck der Höhe 2*2=4 in [mm] [\bruch{1}{2}, [/mm] 1]
n=3, f ist 0 in [0, [mm] \bruch{1}{3}], [\bruch{2}{3}, [/mm] 1] und beschreibt ein Dreieck der Höhe 2*3=6 [mm] in[\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}]
[/mm]
n=4, f ist 0 in [0, [mm] \bruch{1}{4}], [\bruch{2}{4}, [/mm] 1] und beschreibt ein Dreieck der Höhe 2*4=8 in [mm] [\bruch{1}{4}, \bruch{2}{4}]
[/mm]
.
.
.
[mm] f_n [/mm] ist 0 in [0, [mm] \bruch{1}{n}], [\bruch{2}{n}, [/mm] 1] und beschreibt ein Dreieck der Höhe 2n in [mm] [\bruch{1}{n}, \bruch{2}{n}]
[/mm]
zu den Eigenschaften die die Folge erfüllen sollen habe ich jetzt überlegt:
- die Stetigkeit ist gegeben
- und lim sup des Integrals ist immer 1 für n>0, aufgrund der Konstruktion des Dreiecks, d.h. es gilt >0 für [mm] n\to\infty
[/mm]
- bei der zweiten Eigenschaft bin ich mir nun aber unsicher, das Intervall [mm] [\bruch{1}{n}, \bruch{2}{n}] [/mm] wird ja für wachsendes n immer schmaler, d.h. damit der Flächeninhalt es Dreiecks weiterhin 1 bleibt muss es immer höher werden, damit müsste doch fn auch immer größer werden? Habe ich hier einen Denkfehler?
Wäre es hier zum Beispiel richtig die Folge so zu definieren, dass f in [0, [mm] \bruch{1}{n}] [/mm] 0 ist und im restlichen Intervall [mm] [\bruch{1}{n}, [/mm] 1] das Dreieck mit A=1 beschreibt, die Breite des Dreiecks nähert sich ja dann immer mehr an 1 an und damit würde es immer flacher werden….obwohl es eigentlich nie flacher als 2 werden kann und damit wird [mm] f_n [/mm] nicht 0 für [mm] n\to\infty [/mm] …so funktioniert es also doch nicht?!
Also wenn ich die Funktionenfolge so habe wie du sie definert hast, wie kann ich dannz zeigen dass die Eigenschaft 2 erfüllt ist? Es gilt ja f=0 in [mm] [\bruch{2}{n}, [/mm] 1], d.h. für [mm] n\to\infty [/mm] das Intervall in dem alle Funktionswerte 0 sind immer breiter [mm] [\bruch{2}{n},1] [/mm] gegen [0,1] für [mm] n\to\infty. [/mm] Ist das schon der Beweis?
Viele Grüße und schon mal vielen Dank,
Kayle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 So 14.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Zur 2. Eigenschaft:
Klar ist: [mm] f_n(0)=0 [/mm] für jedes n.
Ist x>0, so ex. N [mm] \in \IN [/mm] mit 2/N<x, also auch 2/n<x für n [mm] \ge [/mm] N.
Damit ist:
[mm] f_n(x)=0 [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 So 14.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Danke fred!
Viele Grüße
Kayle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 So 14.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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