Funktionsfolgen/Reihen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Mo 23.05.2011 | | Autor: | DerKoso |
| Aufgabe | Die aufgaben stellung lautet:
Untersuchen Sie die folgenden Funktionenfolge und Funktionenreihe auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
(i) [mm] g_n:\IR\to\IR: x\to\sin \bruch{x}{n}
[/mm]
(ii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx}{1+n^4 a^2},x\in[a,\infty) [/mm] , a>0 |
hab mir gedacht das ich bei den aufgaben nur die Gleichmäsige Konvergenz zeigen muss da ja damit auch die Punktweise Konvergenz gezeigt wird
meine Ideen zu (i)
hab mir gedacht da ja beim sinus der grenzwert bei 1 und -1 liegt kann man als sup 1 nehmen dan würde ja das hier raus kommen
sup [mm] \sin \bruch{x}{n} [/mm] = [mm] |\sin \bruch{1}{n}|
[/mm]
jetzt muss ich ja nur noch das Konvergenz verhalten der Reihe untersuchen
da [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|\sin \bruch{1}{n}| [/mm] ähnlich zu [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] ist wurde ich sagen da die Harm.Reihe divergiert das die funktionsfolge weder gleich oder Punktweise Konvergiert (stimmt das^^, oder ist mein Ansatz tottal falsch^^)
Bei der (ii)
hab ich nur ein Problem ich komme mit hilfe des quotienkriterium auf [mm] \bruch{1}{a} [/mm] aber da ist mein problem die reihe wurde dann nur konvergieren wenn a > 1 ist und nicht wenn a=1 ist
MFG
Der Koso
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1406972#post1406972]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mo 23.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die aufgaben stellung lautet:
>
> Untersuchen Sie die folgenden Funktionenfolge und
> Funktionenreihe auf punktweise und gleichmäßige
> Konvergenz:
>
> (i) [mm]g_n:\IR\to\IR: x\to\sin \bruch{x}{n}[/mm]
>
> (ii) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx}{1+n^4 a^2},x\in[a,\infty)[/mm]
Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Reihe so lautet:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx}{1+n^4 x^2}
[/mm]
Stimmts ?
> , a>0
> hab mir gedacht das ich bei den aufgaben nur die
> Gleichmäsige Konvergenz zeigen muss da ja damit auch die
> Punktweise Konvergenz gezeigt wird
>
> meine Ideen zu (i)
> hab mir gedacht da ja beim sinus der grenzwert bei 1 und
> -1 liegt kann man als sup 1 nehmen dan würde ja das hier
> raus kommen
>
> sup [mm]\sin \bruch{x}{n}[/mm] = [mm]|\sin \bruch{1}{n}|[/mm]
Das ist Unfug. Nimm mal n=x=100000
>
> jetzt muss ich ja nur noch das Konvergenz verhalten der
> Reihe untersuchen
Nein. Das ist doch nicht verlangt !!!
Es gilt für jedes x [mm] \in \IR: g_n(x) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty. [/mm] D.h.: [mm] (g_n) [/mm] konvergiert auf [mm] \IR [/mm] punktweise gegen die Nullfunktion.
Sei M [mm] \subset \IR [/mm] beschränkt, etwa |x| [mm] \le [/mm] c für jedes x [mm] \in [/mm] M. Für x [mm] \in [/mm] M haben wir dann (wegen |sin(a)| [mm] \le [/mm] |a|):
[mm] $|g_n(x) \le [/mm] |x|/n [mm] \le [/mm] c/n$
Damit konv. [mm] (g_n) [/mm] auf M gleichmäßig.
Aber: [mm] (g_n) [/mm] konv. z. B. auf [mm] \IR [/mm] nicht gleichmäßig. Warum ?
>
> da [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|\sin \bruch{1}{n}|[/mm] ähnlich zu
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm] ist wurde ich sagen da
> die Harm.Reihe divergiert das die funktionsfolge weder
> gleich oder Punktweise Konvergiert (stimmt das^^, oder ist
> mein Ansatz tottal falsch^^)
>
>
> Bei der (ii)
> hab ich nur ein Problem ich komme mit hilfe des
> quotienkriterium auf [mm]\bruch{1}{a}[/mm] aber da ist mein problem
> die reihe wurde dann nur konvergieren wenn a > 1 ist und
> nicht wenn a=1 ist
Für x [mm] \ge [/mm] a ist
$0 [mm] \le \bruch{nx}{1+n^4 x^2} \le \bruch{nx}{n^4 x^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^3 x} \le \bruch{1}{n^3 a}$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
>
> MFG
> Der Koso
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1406972#post1406972]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mi 25.05.2011 | | Autor: | DerKoso |
> Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Reihe so lautet:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{nx}{1+n^4 x^2}[/mm]
>
> Stimmts ?
Genau
> > sup [mm]\sin \bruch{x}{n}[/mm] = [mm]|\sin \bruch{1}{n}|[/mm]
>
> Das ist Unfug. Nimm mal n=x=100000
Ok das ist immer gut zu wissen das man eine sache tottal falsch angeh
> Es gilt für jedes x [mm]\in \IR: g_n(x) \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
> D.h.: [mm](g_n)[/mm] konvergiert auf [mm]\IR[/mm] punktweise gegen die
> Nullfunktion.
>
> Sei M [mm]\subset \IR[/mm] beschränkt, etwa |x| [mm]\le[/mm] c für jedes x
> [mm]\in[/mm] M. Für x [mm]\in[/mm] M haben wir dann (wegen |sin(a)| [mm]\le[/mm]
> |a|):
>
> [mm]|g_n(x) \le |x|/n \le c/n[/mm]
>
> Damit konv. [mm](g_n)[/mm] auf M gleichmäßig.
>
> Aber: [mm](g_n)[/mm] konv. z. B. auf [mm]\IR[/mm] nicht gleichmäßig. >Warum
Ich wurde sagen das es Dadran liegt das die Folge nicht Beschränkt ist oder ?
>
> Für x [mm]\ge[/mm] a ist
>
> [mm]0 \le \bruch{nx}{1+n^4 x^2} \le \bruch{nx}{n^4 x^2} = \bruch{1}{n^3 x} \le \bruch{1}{n^3 a}[/mm]
>
> Hilft das ?
Ja das Hilft sogar sehr danke ich kamm einfach nicht drauf die Reihe abzuschätzen
>
> FRED
Danke für die Schnelle Antwort (sry das ich aber erst jetzt züruck schreibe war karnkheits bedingt ans bett gefeselt^^)
> >
MFG
Der Koso
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Moin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> > Es gilt für jedes x [mm]\in \IR: g_n(x) \to[/mm] 0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
> > D.h.: [mm](g_n)[/mm] konvergiert auf [mm]\IR[/mm] punktweise gegen die
> > Nullfunktion.
> >
> > Sei M [mm]\subset \IR[/mm] beschränkt, etwa |x| [mm]\le[/mm] c für jedes x
> > [mm]\in[/mm] M. Für x [mm]\in[/mm] M haben wir dann (wegen |sin(a)| [mm]\le[/mm]
> > |a|):
> >
> > [mm]|g_n(x) \le |x|/n \le c/n[/mm]
> >
> > Damit konv. [mm](g_n)[/mm] auf M gleichmäßig.
> >
> > Aber: [mm](g_n)[/mm] konv. z. B. auf [mm]\IR[/mm] nicht gleichmäßig. >Warum
> Ich wurde sagen das es Dadran liegt das die Folge nicht
> Beschränkt ist oder ?
Folge nicht beschränkt? Wo?
Äquivalent wären:
(i) [mm] g_n:\IR\to\IR, x\mapsto\sin(x/n) [/mm] konv. gleichmäßig (gegen die Nullfunktion)
(ii) Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] ex. [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] |\sin(x/n)|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\geq [/mm] N und [mm] x\in\IR
[/mm]
Nun betrachte [mm] \varepsilon=\frac{1}{2} [/mm] und zu [mm] n\in\IN [/mm] die reelle Zahl x=2n.
Dann ist [mm] |sin(x/n)|=sin(2n/n)=sin(2)>\frac{1}{2}.
[/mm]
Wir können also für [mm] \varepsilon=\frac{1}{2} [/mm] kein solches N in (ii) finden. Widerspruch!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Do 26.05.2011 | | Autor: | DerKoso |
> Moin,
> !
Danke ^^
oki versteh jetzt was ihr beide gemeint habt Danke nochmals für eure Hilfe
MFG
DerKoso
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