Funktionsgl. anhand Nullstel. < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Di 21.03.2006 | | Autor: | david06 |
| Aufgabe | Wie lautet die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades, für die gilt:
Nullstellen für [mm] x_1= [/mm] -4, [mm] x_2= [/mm] -2, [mm] x_3= [/mm] +1 und (0; -2) [mm] \in f_1;
[/mm]
|
Guten Tag,
ich hab ein eher Grundlegendes Problem mit dieser Aufgabe. Und zwar ist mir nicht ganz klar was das (0; -2) [mm] \in f_1 [/mm] bedeuten soll.
Ich hab mich an der Aufgabe versucht in dem ich die Nullstellen eingesetzt habe und dann umgeformte:
= (x+4)(x+2)(x-1)
= [mm] (x^2+6x+8) [/mm] (x-1)
= [mm] x^3 [/mm] [mm] x^2 +6x^2 [/mm] - 6x +8x 8
y = [mm] x^3 [/mm] + [mm] 5x^2 [/mm] + 2x - 8
nun versteh ich aber nicht was (0; -2) damit zutun hat, da ja bei x=0 laut meiner Rechnung f(x)= -8 ist, laut (0; -2) jedoch f(x)= -2 ist.
Ich könnte nun natürlich +6 am ende addieren:
= (x+4)(x+2)(x-1) +6
dann umformen und würde so erreichen das bei x=0 f(x)= -2 ist. Allerdings würde das ja darauf hinauslaufen das man die Formel immer einmal umformt, dann den vorgegebenen x-Wert einsetzt und daraufhin noch mal Änderungen vornimmt um die Funktion dem entsprechend anzupassen.
Meine Frage ist nun ob dies der richtige Lösungsweg ist oder ich in die total falsche Richtung watschel.
Gruß,
David
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Di 21.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
aaaalso. ich bin selber in der 13 und glaube die Lösung zu wissen. Ich meine dein Ansatz ist falsch. Eine ganzrationale Funktion dritten Grade hat doch die allgemeine Form: [mm] f(x)=ax^3+bx^2+c^x+d
[/mm]
mit den 3 Nullstellen und den zsätzlichen Stelle (0/-2) hast du jetzt:
[mm] 0=a*(-4)^3+b*(-4)^2+c*(-4)+d
[/mm]
[mm] \wedge 0=a*(-2)^3+b*(-2)^2+c*(-2)+d
[/mm]
[mm] \wedge [/mm] 0=a* [mm] 1^3 +b*1^2 [/mm] +c*1 +d
[mm] \wedge-2=a*0^3 +b+0^2 [/mm] +c*0+d
das löst du dann entweder mit Additionsverfahren oder besser Matrix (find ich einfacher. Dann bekommst du was für a,b,c und d raus und hast deine gesuchte Funktionsgleichung. Weißt du wie das geht?
Ich hoffe das hilft
Liebe Grüße
Michi
|
|
|
| |
|
Hallo David!
Dein Ansatz ist völlig okay und richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Allerdings gibt es unendlich viele Funktionen mit diesen Nullstellen, da die allgemeine Form lautet:
$f(x) \ = \ [mm] \red{a}*(x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3)$
[/mm]
Durch den gegebenen Punkt $P \ (0|-2)$ kannst Du nun den Faktor $a_$ ermitteln und hast eine eindeutige Lösung für die gesuchte Funktion.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 21.03.2006 | | Autor: | david06 |
Danke euch beiden. Nur noch mal zur Kontrolle ob ich es richtig verstanden hab.
Ist diese Rechnung korrekt?
[mm]-2= a * (0+4)(0+2)(0-1)[/mm]
[mm]-2= a*(4)(2)(-1)[/mm]
[mm]-2= a*(-8) |:-8[/mm]
[mm]\bruch{1}{4} = a[/mm]
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] (x+4)(x+2)(x-1)
[mm] \bruch{1}{4} (x^2 [/mm] + 2x + 4x +8) (x-1)
[mm] \bruch{1}{4} (x^3 [/mm] [mm] x^2 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] - 2x + [mm] 4x^2 [/mm] 4x +8x 8)
[mm] \bruch{1}{4} (x^3 [/mm] + [mm] 5x^2 [/mm] + 2x 8)
[mm] \bruch{1}{4} x^3 [/mm] + [mm] \bruch{5}{4} x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] 2
Vom Ergebnis siehts ja schon mal besser aus, f(x)= -2 wenn x=0.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Di 21.03.2006 | | Autor: | Michi87 |
also meiner Meinung nach stimmt das immer noch nicht.
nochmal: die ALLGEMEINE Form einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist:
[mm] f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x^+d
[/mm]
da du ja 4 Stellen des Graphen der gesuchten Funktion hast, setzt du jetzt diese wie ichs oben aufgeschrieben habe nacheinander ein (wie ich das in meiner ersten Antwort gemacht habe) und ermittelst so a,b,c und d. So bekommst du dann eine bestimmte Funktion raus, wie zum Beispiel: [mm] f(x)=5x^3+2x^2+3x-2 [/mm] (das ist NICHT das Ergebnis sondern nur ein Bespiel!!!)
verstehst du das jetzt?
Gruß
Michi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Di 21.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo David!
[mm] $f(x)=\bruch{1}{4} x^3+\bruch{5}{4} x^2+\bruch{1}{2}x2$
[/mm]
Ist absolut richtig
Gruß
Nicolas
|
|
|
|
