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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Sa 18.05.2013 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems und hat den Tiefpunkt (1|-2). Wie lautet die Funktionsgleichung? |
Also mein Ansatz ist folgender:
f(x) = [mm] ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
Da es sich um eine punktsymmetrische Funktion handelt, gibt es nur ungerade Exponenten:
f(x) = [mm] ax^{3}+cx+d
[/mm]
1. Die erste Ableitung der Funktion muss an der Stelle 1 Null ergeben:
f'(x) = [mm] 3ax^{2}+c
[/mm]
f'(1) = 0 also
(I) f'(1) = 3a +c = 0
2. Die Ursprungsfunktion ist an der Stelle 1 gleich -2
f(1) = -2
(II) f(1) = a + c + d = -2
Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Wenn ich (I) nach c auflöse und dann in (II) einsetze, habe ich immer noch eine Unbekannte zuviel. Hier fehlt mir noch eine dritte Gleichung, oder?
Danke für eure Tipps 
ebarni
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Hallo,
> Eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch
> zum Ursprung des Koordinatensystems und hat den Tiefpunkt
> (1|-2). Wie lautet die Funktionsgleichung?
> Also mein Ansatz ist folgender:
>
> f(x) = [mm]ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm]
>
> Da es sich um eine punktsymmetrische Funktion handelt, gibt
> es nur ungerade Exponenten:
>
> f(x) = [mm]ax^{3}+cx+d[/mm]
falsch:
[mm] f(x)=ax^3+cx
[/mm]
enthält nur ungerade Exponenten, das d steht aber für
[mm] d=d*x^0
[/mm]
und damit für einen geraden Exponenten. Abgesehen davon macht man sich leicht klar, dass d=0 gelten muss, und zwar damit das Schaubild überhaupt durch den Ursprung verläuft.
>
> 1. Die erste Ableitung der Funktion muss an der Stelle 1
> Null ergeben:
>
> f'(x) = [mm]3ax^{2}+c[/mm]
>
> f'(1) = 0 also
>
> (I) f'(1) = 3a +c = 0
Das stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Die Ursprungsfunktion ist an der Stelle 1 gleich -2
>
> f(1) = -2
>
> (II) f(1) = a + c + d = -2
>
> Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter...
Siehe oben. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Sa 18.05.2013 | | Autor: | ebarni |
Hallo Diophant, vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Also ist es:
3a +c = 0 --> c = -3a
eingesetzt in (II):
a + c = -2 also
a - 3a = -2 --> a = 1
eingesetzt in (I):
c = -3
insgesamt also lautet die Funktionsgleichung:
f(x) = [mm] x^{3} [/mm] - 3x
Probe:
f(1) = -2 stimmt
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Hallo,
> Also ist es:
>
> 3a +c = 0 --> c = -3a
>
> eingesetzt in (II):
>
> a + c = -2 also
>
> a - 3a = -2 --> a = 1
>
> eingesetzt in (I):
>
> c = -3
>
> insgesamt also lautet die Funktionsgleichung:
>
> f(x) = [mm]x^{3}[/mm] - 3x
>
> Probe:
>
> f(1) = -2 stimmt
Alles richtig.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Sa 18.05.2013 | | Autor: | ebarni |
Hallo Diophant, alles klar vielen Dank nochmal für Deine schnelle Hilfe!!!!!
ebarni
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