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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:18 So 31.08.2008 | | Autor: | Lapabi |
| Aufgabe 1 | Bestimmen Sie alle ganzrationale Funktionen vom Grad 2, deren Graph durch die angegebenen Punkte geht.
a) A(-1/2), B(1/2)
b) A(2/0), B(-2/0)
c) A(2/0)
d) A(0/0) |
| Aufgabe 2 | Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 3ten Grades, deren Graph
a)die x-Achse im Ursprung berührt und deren Tangente im Punkt P(-3/0) parallel zur Graden y=6x ist.
b) in P(1/4) einen Extrempunkt und in Q(0/2) einen Wendepunkt hat. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu Aufgabe 1:
a) Bedingungen:
Funktion 2ten Grades > f(x)=ax²+bx+c
Punkt A(-1/2) > 2=a(-1)²+b(-1)+c
> 2=a-b+c
Punkt B(1/2) > 2=a(1)²+b*1+c
> 2=a+b+c
Und nun geht es nicht weiter, denn mir fehlt ein dritter Punkt bzw. eine weitere Bedingung. Bei b) genauso und bei c) und d) fehlen mir sogar 2 Punkte bzw. 2 Bedingungen. Wer kann mir auf die Sprünge helfen?
Zu Aufgabe 2:
a) Bedingungen
Funktion 3ten Grades > f(x)=ax³+bx³+cx+d
Ursprung (0/0) > 0=a0³+b0²+c*0+d
> d=0
Berührung in (0/0) > f'(x)=3ax²+2bx+c
> f'(0)=0
> 0=3a0²+2b0+c
> c=0
Punkt P(-3/0) > 0=a(-3)³+b(-3)²
> 0=-27a+9b
Bei der letzten Bedingung bin ich mir nicht sicher: Also, da die Tangente parallel zu der Graden y=6x ist hat sie die ebenfalls die Steigung m=6, daraus ergibt sich für mich
Steigung m=6 im Punkt (-3/0) > f'(-3)=6
> 6=3a(-3)²+2b(-3)
> 6=27a-6b
Zur Weiterberechnung blieben dann die Gleichungen
I 0=-27a+9b
II 6=27a-6b
und ich komme dann auf die Funktionsgleichung f(x)=-3,6/27x³-0,4x²
Kann das stimmen?
b) Bedingungen
Funktion 3ten Grades > f(x)=ax³+bx²+cx+d
> f'(x)=3ax²+bx+c
Extrempunkt P(1/4) > f(1)=4
> 4=a1³+b1²+c1+d
> 4=a+b+c+d
> f'(1)=0
> 0=3a1²+b1+c
> 0=3a+b+c
Wendepunkt Q(0/2) > f(0)=2
> 2=a0³+b0²+c0+d
> d=2
> f''(0)=0
> 0=2b
> b=0
Somit erhalte ich folgende Gleichungen zur Weiterberechnung:
I a+b+c+d=4
II 3a+b+c=0
Daraus ergibt sich für mich die Funktionsgleichung
f(x)=-1x³+0x²+3x+2
Richtig?
Über schnelle Antworten würde ich mich sehr freuen.
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> Bestimmen Sie alle ganzrationale Funktionen vom Grad 2,
> deren Graph durch die angegebenen Punkte geht.
> a) A(-1/2), B(1/2)
> b) A(2/0), B(-2/0)
> c) A(2/0)
> d) A(0/0)
> Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 3ten Grades,
> deren Graph
> a)die x-Achse im Ursprung berührt und deren Tangente im
> Punkt P(-3/0) parallel zur Graden y=6x ist.
> b) in P(1/4) einen Extrempunkt und in Q(0/2) einen
> Wendepunkt hat.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Zu Aufgabe 1:
>
> a) Bedingungen:
>
> Funktion 2ten Grades > f(x)=ax²+bx+c
> Punkt A(-1/2) > 2=a(-1)²+b(-1)+c
> > 2=a-b+c
> Punkt B(1/2) > 2=a(1)²+b*1+c
> > 2=a+b+c
>
> Und nun geht es nicht weiter, denn mir fehlt ein dritter
> Punkt bzw. eine weitere Bedingung.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Polynome 2.Grades sind erst durch drei Punkte eindeutig bestimmt, Du kannst hier also keine eindeutige Lösung erwarten. (Wenn Du die Gleichung einer Gerade durch einen vorgegebenen Punkt angeben sollst, hast Du auch ziemlich viel Auswahl.)
Löse nun das Gleichungssystem
2=a-b+c
2=a+b+c.
Lösung:
b=0
2=a+c <==> c=2-a.
Damit weißt Du, daß alle Parabeln, die die Bedingung erfüllen, von der machart
[mm] f(x)=ax^2+(2-a) [/mm] sind.
Bei b) genauso und bei
> c) und d) fehlen mir sogar 2 Punkte bzw. 2 Bedingungen. Wer
> kann mir auf die Sprünge helfen?
Versuch's jetzt mal - wenn Du nicht weiterweißt, melde Dich wieder.
Wenn nur ein Punkt gegeben ist, unterliegt die Gestalt der Parabel noch weniger Einschränkungen.
>
> Zu Aufgabe 2:
> a) Bedingungen
> Funktion 3ten Grades > f(x)=ax³+bx³+cx+d
>
> Ursprung (0/0) > 0=a0³+b0²+c*0+d
> > d=0
>
> Berührung in (0/0) > f'(x)=3ax²+2bx+c
> > f'(0)=0
> > 0=3a0²+2b0+c
> > c=0
>
> Punkt P(-3/0) > 0=a(-3)³+b(-3)²
> > 0=-27a+9b
>
> Bei der letzten Bedingung bin ich mir nicht sicher: Also,
> da die Tangente parallel zu der Graden y=6x ist hat sie die
> ebenfalls die Steigung m=6, daraus ergibt sich für mich
> Steigung m=6 im Punkt (-3/0) > f'(-3)=6
Genau.
> >
> 6=3a(-3)²+2b(-3)
> >
> 6=27a-6b
>
> Zur Weiterberechnung blieben dann die Gleichungen
>
> I 0=-27a+9b
> II 6=27a-6b
Das GS stimmt.
Beim Lösen ist Dir ein Fehler unterlaufen.
>
> und ich komme dann auf die Funktionsgleichung
> f(x)=-3,6/27x³-0,4x²
>
> Kann das stimmen?
>
> b) Bedingungen
>
> Funktion 3ten Grades > f(x)=ax³+bx²+cx+d
> > f'(x)=3ax²+bx+c
>
> Extrempunkt P(1/4) > f(1)=4
> > 4=a1³+b1²+c1+d
> > 4=a+b+c+d
> > f'(1)=0
> > 0=3a1²+b1+c
> > 0=3a+b+c
>
> Wendepunkt Q(0/2) > f(0)=2
> > 2=a0³+b0²+c0+d
> > d=2
> > f''(0)=0
> > 0=2b
> > b=0
>
> Somit erhalte ich folgende Gleichungen zur
> Weiterberechnung:
>
> I a+b+c+d=4
> II 3a+b+c=0
Wenn Du die bereits errechneten Variablen nicht mitschleppen möchtest, solltest Du sie lieber einsetzen:
a+c+2=4
3a+c=0
Oder eben komplett:
4=a+b+c+d
0=3a+b+c
d=2
b=0.
>
> Daraus ergibt sich für mich die Funktionsgleichung
> f(x)=-1x³+0x²+3x+2
> Richtig?
Ja.
Gruß v. Angela
>
> Über schnelle Antworten würde ich mich sehr freuen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Lapabi |
Hallo Angela,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Nach einigen Überlegungen bin ich jetzt zu folgenden Ergebnissen gekommen:
1 b) f(x)=4ax²-4a
1 c) f(x)=4ax²+2bx+(-4a-2b)
Kann das stimmen? Dann hab ich das jetzt nämlich verstanden.
Bei Aufgabe 2 hab ich jetzt folgendes raus: f(x)= 2/3ax³+2bx²
Richtig?
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wie kommst Du auf die vordere 4? Ich habe erhalten:
