Funktionsgrenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Fr 12.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte, falls sie existieren:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2-5}{x^3+2x-1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{tan(3x)}{sin(2x)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x-\wurzel{x^2+1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{x+1}-\wurzel{2x+1}}{\wurzel{3x+4}-\wurzel{2x+4}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow -2} (\bruch{2}{x(x+2)}-\bruch{3x+4}{(x+2)(x+4)})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow 2\pi} \bruch{1-cos(x)}{(x-2\pi)^2} [/mm] |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2-5}{x^3+2x-1} [/mm] = [mm] \bruch{x^2(1-\bruch{5}{n^2}}{x^3(1+\bruch{2}{n^2}-\bruch{1}{n^3}} [/mm] = ... = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{tan(3x)}{sin(2x)} [/mm] = [mm] \bruch{3*(1+tan^2(3x)}{2*cos(2x)} [/mm] = .. nach dem einsetzen der Null = 3
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x-\wurzel{x^2+1} [/mm] * [mm] \bruch{x+\wurzel{x^2+1}}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] = [mm] bruch{1}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{x+1}-\wurzel{2x+1}}{\wurzel{3x+4}-\wurzel{2x+4}}
[/mm]
Hier weiß ich nicht weiter, habs mit l´Hospital probiert, geht aber schlecht
[mm] \limes_{n\rightarrow -2} (\bruch{2}{x(x+2)}-\bruch{3x+4}{(x+2)(x+4)}) [/mm] = [mm] (\bruch{-3x^2-2x+8}{x(x+2)(x+4)}) [/mm] = [mm] (\bruch{-3x+4}{x^2+4x)}) [/mm] = [mm] (\bruch{5}{4)})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow 2\pi} \bruch{1-cos(x)}{(x-2\pi)^2} [/mm]
Hier habe ich genau l´Hospital anwenden wollen, läuft genauso schlecht :(
Kann jemand die Ergebnisse kontrollieren? Btw manche Zwischenschritte habe ich weggelassen
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Ich weiß nicht, ob es dir nur um die Bestätigung deiner Ideen geht, oder ob es darum geht, dass die Antworten so richtig sind.
Denn die Ideen sind ja teils ganz gut, die Ausführung aber so katastrophal, dass ich da nur einen Strich durch machen und ein riesengroßes "f" wie "falsch" dran schriebe: Statt x heißt es nach Belieben mal x und mal n, das geht völlig durcheinander, es gehen regelmäßig nicht so viele Klammern auf wie zu, Punkt- vor Strichrechnung scheint ein Fremdwort, fast jedes "lim" fehlt. Also SO kannst du das echt nicht abgeben.
Beschränken wir uns mal auf die Ideen, definieren wir n als x und denken uns all die vergessenen Klammern und limes im Geiste dazu:
1. Aufgabe im Wesentlichen ok, 2. Aufgabe auch, nur am Einsetzen der Null gescheitert.
3. Aufgabe unlesbar, aber wohl richtig gedacht - möglicherweise aber fehlt da ein Vorzeichen im Zähler (Fehler durch vergessene Klammern?)
4. Aufgabe ginge ähnlich wie die dritte.
5. Aufgabe sieht gut aus, scheint aber wieder beim Einsetzen gescheitert. Rechne es nochmal nach.
6. Aufgabe: Doch, doch, geht mit l'Hopital - zweimal angewendet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 So 14.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
> Ich weiß nicht, ob es dir nur um die Bestätigung deiner
> Ideen geht, oder ob es darum geht, dass die Antworten so
> richtig sind.
>
> Denn die Ideen sind ja teils ganz gut, die Ausführung aber
> so katastrophal, dass ich da nur einen Strich durch machen
> und ein riesengroßes "f" wie "falsch" dran schriebe: Statt
> x heißt es nach Belieben mal x und mal n, das geht völlig
> durcheinander, es gehen regelmäßig nicht so viele
> Klammern auf wie zu, Punkt- vor Strichrechnung scheint ein
> Fremdwort, fast jedes "lim" fehlt. Also SO kannst du das
> echt nicht abgeben.
>
> Beschränken wir uns mal auf die Ideen, definieren wir n
> als x und denken uns all die vergessenen Klammern und limes
> im Geiste dazu:
>
> 1. Aufgabe im Wesentlichen ok, 2. Aufgabe auch, nur am
> Einsetzen der Null gescheitert.
Bei Aufgabe (a) kommt 0 und bei (b) 3/2 raus.
>
> 3. Aufgabe unlesbar, aber wohl richtig gedacht -
> möglicherweise aber fehlt da ein Vorzeichen im Zähler
> (Fehler durch vergessene Klammern?)
>
[mm] x-\wurzel{x^2+1} [/mm] * [mm] \bruch{x+\wurzel{x^2+1}}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] = [mm] \bruch{x+\wurzel{x^2+1}}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] = [mm] \bruch{x^2-x^2+1}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] = ..also = 0
> 4. Aufgabe ginge ähnlich wie die dritte.
Das ich doch die "0/0" Regel von l´Hospital ?
>
> 5. Aufgabe sieht gut aus, scheint aber wieder beim
> Einsetzen gescheitert. Rechne es nochmal nach.
[mm] \bruch{-3x+4}{x^2+4} [/mm] = [mm] \bruch{-3*(-2)+4}{(-2)^2+4} [/mm] = [mm] \bruch{6+4}{4+4} [/mm] = [mm] \bruch{10}{8} [/mm] = [mm] \bruch{5}{4}
[/mm]
>
> 6. Aufgabe: Doch, doch, geht mit l'Hopital - zweimal
> angewendet.
[mm] \bruch{1-cos(x)}{(x-2\pi)^2} [/mm] abgeleitet ist [mm] \bruch{sin(x)(x-2\pi)-2(1-cos(x))}{(x-2\pi)^3} [/mm] ... also gilt l´Hospital hier nicht..
Kann jemand weiter helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 So 14.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Ich weiß nicht, ob es dir nur um die Bestätigung deiner
> > Ideen geht, oder ob es darum geht, dass die Antworten so
> > richtig sind.
> >
> > Denn die Ideen sind ja teils ganz gut, die Ausführung aber
> > so katastrophal, dass ich da nur einen Strich durch machen
> > und ein riesengroßes "f" wie "falsch" dran schriebe: Statt
> > x heißt es nach Belieben mal x und mal n, das geht völlig
> > durcheinander, es gehen regelmäßig nicht so viele
> > Klammern auf wie zu, Punkt- vor Strichrechnung scheint ein
> > Fremdwort, fast jedes "lim" fehlt. Also SO kannst du das
> > echt nicht abgeben.
> >
> > Beschränken wir uns mal auf die Ideen, definieren wir n
> > als x und denken uns all die vergessenen Klammern und limes
> > im Geiste dazu:
> >
> > 1. Aufgabe im Wesentlichen ok, 2. Aufgabe auch, nur am
> > Einsetzen der Null gescheitert.
> Bei Aufgabe (a) kommt 0 und bei (b) 3/2 raus.
Aufgabe a) führt in der Tat zum Grenzwert 0, Aufgabe b) in der Tat zu [mm] \frac{3}{2}
[/mm]
> >
> > 3. Aufgabe unlesbar, aber wohl richtig gedacht -
> > möglicherweise aber fehlt da ein Vorzeichen im Zähler
> > (Fehler durch vergessene Klammern?)
> >
> [mm]x-\wurzel{x^2+1}[/mm] *
> [mm]\bruch{x+\wurzel{x^2+1}}{x+\wurzel{x^2+1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{x+\wurzel{x^2+1}}{x+\wurzel{x^2+1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^2-x^2+1}{x+\wurzel{x^2+1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x+\wurzel{x^2+1}}[/mm] = ..also = 0
Hier hast du im Zähler einen Vorzeichenfehler, es muss -1 heißen. Am korrekten Grenzwert ändert das aber dann in der Tat nichts.
>
> > 4. Aufgabe ginge ähnlich wie die dritte.
>
> Das ich doch die "0/0" Regel von l´Hospital ?
Das kannst du so machen, oder du erweiterst den Bruch mit [mm] \sqrt{3x-4}+\sqrt{2x-4} [/mm] damit du im Nenner die dritte binomische Formel nutzen kannst.
> >
> > 5. Aufgabe sieht gut aus, scheint aber wieder beim
> > Einsetzen gescheitert. Rechne es nochmal nach.
>
> [mm]\bruch{-3x+4}{x^2+4}[/mm] = [mm]\bruch{-3*(-2)+4}{(-2)^2+4}[/mm] =
> [mm]\bruch{6+4}{4+4}[/mm] = [mm]\bruch{10}{8}[/mm] = [mm]\bruch{5}{4}[/mm]
Du hast das x im Nenner übersehen, du hast
[mm] \lim\limits_{x\to-2}\frac{-3x+4}{x^{2}+4\red{x}}
[/mm]
[mm] =\frac{(-3)\cdot(-2)+4}{(-2)^{2}+4\red{\cdot(-2)}}
[/mm]
[mm] =\frac{10}{-4}
[/mm]
[mm] =\ldots
[/mm]
>
> >
> > 6. Aufgabe: Doch, doch, geht mit l'Hopital - zweimal
> > angewendet.
>
> [mm]\bruch{1-cos(x)}{(x-2\pi)^2}[/mm] abgeleitet ist
> [mm]\bruch{sin(x)(x-2\pi)-2(1-cos(x))}{(x-2\pi)^3}[/mm] ... also
> gilt l´Hospital hier nicht..
Oh nein, du hast scheinbar die  LHospitalscheRegel nicht verstanden.
Es gilt, unter entsprechender Voraussetzung, dass
[mm] \lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
Also wird, bei deiner Funktion, die die Voraussetzungen erfüllt:
[mm] \lim\limits_{x\to2\pi}\frac{1-\cos(x)}{(x-2\pi)^{2}}=\lim\limits_{x\to2\pi}\frac{\sin(x)}{2\cdot(x-2\pi)}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 14.02.2016 | | Autor: | rsprsp |
> Hallo
>
> > > Ich weiß nicht, ob es dir nur um die Bestätigung deiner
> > > Ideen geht, oder ob es darum geht, dass die Antworten
> so
> > > richtig sind.
> > >
> > > Denn die Ideen sind ja teils ganz gut, die Ausführung
> aber
> > > so katastrophal, dass ich da nur einen Strich durch
> machen
> > > und ein riesengroßes "f" wie "falsch" dran schriebe:
> Statt
> > > x heißt es nach Belieben mal x und mal n, das geht
> völlig
> > > durcheinander, es gehen regelmäßig nicht so viele
> > > Klammern auf wie zu, Punkt- vor Strichrechnung scheint
> ein
> > > Fremdwort, fast jedes "lim" fehlt. Also SO kannst du
> das
> > > echt nicht abgeben.
> > >
> > > Beschränken wir uns mal auf die Ideen, definieren wir
> n
> > > als x und denken uns all die vergessenen Klammern und
> limes
> > > im Geiste dazu:
> > >
> > > 1. Aufgabe im Wesentlichen ok, 2. Aufgabe auch, nur
> am
> > > Einsetzen der Null gescheitert.
> > Bei Aufgabe (a) kommt 0 und bei (b) 3/2 raus.
>
> Aufgabe a) führt in der Tat zum Grenzwert 0, Aufgabe b) in
> der Tat zu [mm]\frac{3}{2}[/mm]
>
>
> > >
> > > 3. Aufgabe unlesbar, aber wohl richtig gedacht -
> > > möglicherweise aber fehlt da ein Vorzeichen im
> Zähler
> > > (Fehler durch vergessene Klammern?)
> > >
> > [mm]x-\wurzel{x^2+1}[/mm] *
> > [mm]\bruch{x+\wurzel{x^2+1}}{x+\wurzel{x^2+1}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{x+\wurzel{x^2+1}}{x+\wurzel{x^2+1}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{x^2-x^2+1}{x+\wurzel{x^2+1}}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{x+\wurzel{x^2+1}}[/mm] = ..also = 0
>
> Hier hast du im Zähler einen Vorzeichenfehler, es muss -1
> heißen. Am korrekten Grenzwert ändert das aber dann in
> der Tat nichts.
>
> >
> > > 4. Aufgabe ginge ähnlich wie die dritte.
> >
> > Das ich doch die "0/0" Regel von l´Hospital ?
>
> Das kannst du so machen, oder du erweiterst den Bruch mit
> [mm]\sqrt{3x-4}+\sqrt{2x-4}[/mm] damit du im Nenner die dritte
> binomische Formel nutzen kannst.
Da bleibt x im Nenner und damit 0.
>
> > >
> > > 5. Aufgabe sieht gut aus, scheint aber wieder beim
> > > Einsetzen gescheitert. Rechne es nochmal nach.
> >
> > [mm]\bruch{-3x+4}{x^2+4}[/mm] = [mm]\bruch{-3*(-2)+4}{(-2)^2+4}[/mm] =
> > [mm]\bruch{6+4}{4+4}[/mm] = [mm]\bruch{10}{8}[/mm] = [mm]\bruch{5}{4}[/mm]
>
> Du hast das x im Nenner übersehen, du hast
> [mm]\lim\limits_{x\to-2}\frac{-3x+4}{x^{2}+4\red{x}}[/mm]
> [mm]=\frac{(-3)\cdot(-2)+4}{(-2)^{2}+4\red{\cdot(-2)}}[/mm]
> [mm]=\frac{10}{-4}[/mm]
> [mm]=\ldots[/mm]
>
>
> >
> > >
> > > 6. Aufgabe: Doch, doch, geht mit l'Hopital - zweimal
> > > angewendet.
> >
> > [mm]\bruch{1-cos(x)}{(x-2\pi)^2}[/mm] abgeleitet ist
> > [mm]\bruch{sin(x)(x-2\pi)-2(1-cos(x))}{(x-2\pi)^3}[/mm] ... also
> > gilt l´Hospital hier nicht..
>
> Oh nein, du hast scheinbar die LHospitalscheRegel nicht
> verstanden.
>
> Es gilt, unter entsprechender Voraussetzung, dass
> [mm]\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm]
>
> Also wird, bei deiner Funktion, die die Voraussetzungen
> erfüllt:
>
> [mm]\lim\limits_{x\to2\pi}\frac{1-\cos(x)}{(x-2\pi)^{2}}=\lim\limits_{x\to2\pi}\frac{\sin(x)}{2\cdot(x-2\pi)}[/mm]
>
> Marius
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>>oder du erweiterst den Bruch mit
>> $ [mm] \sqrt{3x-4}+\sqrt{2x-4} [/mm] $ damit du im Nenner die dritte
>> binomische Formel nutzen kannst.
>Da bleibt x im Nenner und damit 0.
Genau.
Mach dann dasselbe zusätzlich auch noch mit dem Zähler statt dem Nenner, und das störende x wird sich erledigen.
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>$ [mm] x-\wurzel{x^2+1} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{x+\wurzel{x^2+1}}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{x+\wurzel{x^2+1}}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{x^2-x^2+1}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] $
Wohl kaum. Klammern sind in der Mathematik nicht überflüssig, wer sie einfach weglässt, kommt nur zu Unfug. Richtig wäre:
$ [mm] (x-\wurzel{x^2+1}) [/mm] $ * $ [mm] \bruch{x+\wurzel{x^2+1}}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(x-\wurzel{x^2+1})(x+\wurzel{x^2+1})}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{x^2-(x^2+1)}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{-1}{x+\wurzel{x^2+1}} [/mm] $
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