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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Sa 30.10.2004 | | Autor: | kecki |
Hallo,
Habe ein ziemliches Problem:
Schreibe nächste Woche ein Mathe-Klausur und kapiere einfach nichts. Kann mir jemand die Linearfaktordarstellung, Polynomdarstellung ausführlich und verständlich erklären?
Das wäre echt super, würd mich riesig über eine Antwort freuen!!
Gruss kecki
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!!
Also zu Beginn wäre gut,wenn du weißt was eine Polynomfunktion ist-wie sie definiert ist und generell was funktionen sind!!!
So eine NORMIERTE polynomfunktion vom Typ:
a_ [mm] {n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1},+................+,a1x+a_{0}=0
[/mm]
kann folgendermaßen dargestellt werde:
[mm] (x-x_{1})*(x-x_{2})*(x-x_{n}) x_{1},.....,x_{n}=Lösungen/nullstellen
[/mm]
Diese Darstellung nennt man Lienarfaktoren:
z.B [mm] f_{x}= [/mm] x²+2x+4 ..Das ist deine Funktion 2ten Grades!!!
Jetzt musst du die Nullstellen bestimmen=> x²+2x-3=0
[mm] x_{1}= [/mm] 1 und [mm] x_{2}=-3
[/mm]
=> x²+2x-3=(x-1)*(x+3)!!!!! Du kannst natürlich auch den umgekehrten Weg gehen!!!!
Grüße daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 So 31.10.2004 | | Autor: | kecki |
Danke Daniel für deine schnelle Antwort!!
Habe aber nochmal ein paar Fragen:
Angenommen eine Aufgabe lautet:
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat bei x1=-3, x2=0 und x3=3
Nullstellen und ist mit dem Faktor a=0,5 gestaucht.
a) Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung in Linearfaktordarstellung und Polynomdarstellung.
b)Untersuche die Funktion auf Symmetrie und Verhalten im Unendlichen.
Was mach ich da jetzt?? Kann mir jemand die Aufgabe erklären u.ausrechnen??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Kecki,
> Angenommen eine Aufgabe lautet:
> Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat bei x1=-3, x2=0
> und x3=3
> Nullstellen und ist mit dem Faktor a=0,5 gestaucht.
> a) Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung in
> Linearfaktordarstellung und Polynomdarstellung.
Es gilt folgender Satz:
Wenn bei einer ganz-rationalen Funktion [mm] x_n [/mm] eine Nullstelle ist,
dann kann man mit Hilfe der  Polynomdivision den Funktionsterm durch [mm] (x-x_n) [/mm] ohne Rest teilen.
Daraus folgt: Jede ganz-rationale Funktion läßt sich in Faktoren [mm] (x-x_n) [/mm] zerlegen.
Konkret:
$f(x)=(x-(-3))(x-3)*x$ lautet deine Beispielfunktion.
Wenn du die Terme ausmultiplizierst, erhältst du die Polynomdarstellung.
Ich kann hier keinen Fehler entdecken. Informix
Bitte um einen Hinweis.
> b)Untersuche die Funktion auf Symmetrie und Verhalten im
> Unendlichen.
siehe Symmetrie
> Was mach ich da jetzt?? Kann mir jemand die Aufgabe
> erklären u.ausrechnen??
Poste deine Ergebnisse hier, dann sehen wir weiter.
Viel Erfolg!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Mo 01.11.2004 | | Autor: | kecki |
Polynomdarstellung:
f(x)= x³-3x+x²-3x???? -ist falsch oder??
Danke für die Hilfe, aber ich komm da einfach nicht weiter.
Bei der a) versteh ich das nicht mit 0,5 gestaucht, was für eine Auswirkung hat das auf die Gleichung u. woran erkenne ich das??
Bei der b) ist es das mit dem Verhalten im Unendlichen.
Weiß einfach nicht, wie ich weiter rechnen soll, bin mir immer viel zu unsicher.
kann mir nochmal jemand helfen?
Würd mich freuen!!
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Hallo Kecki!
Also, ich glaube, ich habe deine Aufgabe gelöst. Ich habe es folgendermaßen gemacht:
Eine Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form:
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
Nullstelle bedeutet, dass der Funktionswert an dieser Stelle gleich Null ist. Du hast also schon drei Werte für deine Funktion gegeben, nämlich
f(-3)=0, f(0)=0 und f(3)=0.
Wenn du das jetzt mal in die allgemeine Formel einsetzt, bekommst du z. B. für f(0)=0:
d=0 (setze einfach in f(x) für das x überall 0 ein, dann bleibt nur d übrig, da f(x)=0 ist, muss also d=0 sein)
Das Gleiche kannst du für die anderen beiden Nullstellen machen.
Aber vorher noch zu deinem Faktor a: Du hast ja ein a gegeben. Dieses a verändert die Funktion in ihrer "Breite". (Stell dir z. B. [mm] f(x)=x^2 [/mm] vor, wenn du jetzt stattdessen [mm] f(x)=0,5x^2 [/mm] nimmst, ist die Funktion breiter.) Diesen Faktor a setzt du für das a in der allgemeinen Formel ein.
Jetzt hast du also schon zwei Koeffizienten deiner Funktion, nämlich a=0,5 und d=0.
Setzt du nun, wie oben schon angedeutet, -3 und 3 auch in f(x) ein und setzt es gleich 0 (denn diese Stellen sind ja Nullstellen!), so kannst du b und c ebenfalls berechnen (denn du bekommst zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, die du lösen kannst. Ich erhalte dabei b=0 und c=-4,5).
Somit ist deine Funktion
[mm] f(x)=0,5x^3-4,5x
[/mm]
In Linearfaktorschreibweise musst du, wie in einem anderen Artikel schon beschrieben, f(x)=(x-(-3))(x-3)*x schreiben, allerdings fehlte hier der Faktor 0,5. Richtig müsste es also heißen f(x)=0,5x(x+3)(x-3). Wenn du das ausmultiplizierst, erhältst du wieder das Gleiche wie oben!
Zur Symmetrie:
Allgemein gilt:
Achsensymmetrie, falls f(x)=f(-x)
und
Punktsymmetrie, falls f(x)=-f(-x).
f(x) hast du ja mittlerweile herausgefunden, jetzt setzt du statt x einfach überall (-x) ein. (WICHTIG: das Minus muss in der Klammer stehen!!!) Du erhältst also:
[mm] f(-x)=0,5(-x)^3-4,5(-x)=-0,5x^3+4,5
[/mm]
Das ist, wie man sieht, [mm] \not= [/mm] f(x), somit liegt keine Achsensymmetrie vor. Wenn du aber -f(-x) berechnest, erhältst du [mm] -(-0,5x^3+4,5)=0,5x^3-4,5x [/mm] und das ist genau deine Funktion f(x), somit erhältst du Punktsymmetrie.
(Zusatz: Funktionen, bei denen der größte Exponent gerade ist, sind meistens achsensymmetrisch (oder sogar immer? - sorry, bin mir da nicht sicher), solche mit größtem ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch!)
Und nun noch zum Verhalten für [mm] x->\infty:
[/mm]
Du probierst einfach (evtl. nur gedanklich) gaaanz große Werte für x aus und setzt sie in deine Gleichung ein, und überlegst dir, wie die einzelnen Teile der Funktion sich verhalten, ob sie z. B. immer größer werden oder gegen eine bestimmte Zahl konvergieren.
Setzt du ganz große Werte ein, so wird beispielsweise [mm] x^3 [/mm] immer größer. Wenn du davor noch deinen Faktor 0,5 setzt, wird das ganze zwar nicht ganz so groß, aber trotzdem immer größer, konvergiert also gegen [mm] \infty. [/mm] 4,5x wird auch immer größer für größere x, somit geht auch dies gegen [mm] \infty. [/mm] Jetzt musst du dir nur noch überlegen, was "schneller" gegen [mm] \infty [/mm] geht, das ist für große x offensichtlich [mm] 0,5x^3 [/mm] (denn hier werden die großen Zahlen gleich hoch drei genommen, und sind somit wesentlich größer als ein einzelnes x!). Also geht [mm] 0,5x^3 [/mm] schneller gegen [mm] \infty [/mm] als 4,5x, das heißt, es macht nichts aus, dass du diesen Teil noch in deiner Funktion subtrahierst, die ganze Funktion geht gegen [mm] \infty.
[/mm]
Für [mm] x->-\infty [/mm] kannst du dir das ganze genauso überlegen, die Funktion konvergiert dann gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Ich hoffe, nun sind alle Fragen geklärt, wenn nicht, frag nochmal nach.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Di 02.11.2004 | | Autor: | kecki |
Hi Bastiane!
Vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
Hab mich sehr darüber gefreut!!
Hab bis jetzt alles gut verstanden, wenn ich doch nochmal ne Frage haben sollte, meld ich mich nochmal.
Nochmals vielen Dank!!
Gruß kecki
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