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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 Di 15.01.2008 | | Autor: | detlef |
Hallo,
wie kann ich das "beweisen"?
Warum ist die Funktionsreiehe [mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] 1/4*sin(10jt) nicht die Funktionsreihe einer stückweise stetigen pi/5-periodischen Funktion?
detlef
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Di 15.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Detlef,
meinst Du $t [mm] \mapsto \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{4} \sin(10*k*t)$? [/mm]
Also so mal rein intuitiv:
Wenn ich mir mit
[mm] $S_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{1}{4} \sin(10*k*t)=\sum_{k=1}^n \frac{1}{4} \sin(10*k*t)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$)
[/mm]
(beachte: [mm] $\sin(0)=0$)
[/mm]
mal die Graphen von [mm] $S_1(x)$, $S_2(x)$, $S_3(x)$,...
[/mm]
plotten lasse, so mache ich dabei die "Beobachtung", dass man eine Folge $( [mm] t_m )_{m \in \IN}$ [/mm] so angeben kann, dass [mm] $0\not=t_m \to [/mm] 0$ bei $m [mm] \to \infty$, [/mm] und wie es mir scheint, kann man diese [mm] $t_m$ [/mm] so angeben, dass zudem [mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{4} \sin(10*k*t_m)=\infty$ [/mm]
(für jedes $m [mm] \in \IN$ [/mm] fest).
Also genaugenommen denke ich, dass es hier so ist, dass die Menge, in der die obige Funktionsreihe gegen [mm] $\pm \infty$ [/mm] divergiert, schon dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt. Das macht natürlich alles kaputt...
P.S.:
Ich hoffe natürlich, dass sich meine "Beobachtung" auch beweisen läßt. Aber ich will Dir ja nur eine "mögliche Beweisidee" liefern.
Also man könnte versuchen, zu beweisen:
Ist [mm] $t_0 \in \IR$ [/mm] fest und o.E. so, dass [mm] $\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{4} \sin(10*k*t_0)$ [/mm] (in [mm] $\IR$) [/mm] existiert, so zeige:
Zu einem beliebigen, aber festen [mm] $\delta [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $t_1$ [/mm] mit [mm] $|t_1-t_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] und so, dass [mm] $\vmat{\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{4} \sin(10*k*t_1)}=\infty$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:36 Di 15.01.2008 | | Autor: | detlef |
puh,
ähm das ist eine Kurzfrage in einer Klausur gewesen und ich weiss jetzt nicht so genau, ob man das so groß beweisen muss!
Gibt es an der Reihe nicht irgendwas, dass es unmöglich macht, dass sie pi/5 stetig ist?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> puh,
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> ähm das ist eine Kurzfrage in einer Klausur gewesen und ich
> weiss jetzt nicht so genau, ob man das so groß beweisen
> muss!
> Gibt es an der Reihe nicht irgendwas, dass es unmöglich
> macht, dass sie pi/5 stetig ist?
>
>
> detlef
Hallo Detlef,
also wie gesagt:
Es kann auch sein, dass meine Behauptung nicht stimmt. Vielleicht sollte ich anstatt von den Stellen, wo die Reihe gegen [mm] $\pm \infty$ [/mm] divergiert, von den Extremalstellen von $x [mm] \mapsto \sum_{k=0}^\infty \sin(10*k*x)$ [/mm] sprechen. Vermutlich ist dies eher eine Menge, die dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt?!
Man könnte ja versuchen, das ganze durch Betrachten der "Teilsummenfolgefunktionen" [mm] $S_n(x)$ [/mm] mit
[mm] $S_n: \IR \to \IR \cup \{\pm \infty\}, [/mm] x [mm] \mapsto S_n(x):=\sum_{k=1}^n \sin(10*k*x)$
[/mm]
zu begründen, indem man versucht, Aussagen über die Nullstellen der Ableitung von [mm] $S_n(x)$ [/mm] (ggf. argumentiere man in einem beliebigen, endlichen Intervall einer gewissen Länge) zu treffen (man muss diese ja nicht konkret angeben, aber vielleicht kann man mit dem Mittelwertsatz argumentieren).
(Wobei man sich überlegen muss, dass die Kandidaten für Nullstellen dann auch wirklich Nullstellen sind.)
Oder man versucht, Aussagen über die Anzahl der Nullstellen von $x [mm] \mapsto S_n(x)$ [/mm] zu treffen, das wäre vielleicht auch ein sinnvoller Ansatz...
Wie gesagt: Das ganze sind jetzt nur mal Ansätze, die vielleicht zum Ziel führen könnten, also eher als Vermutungen zu betrachten. Eine knappere Begründung fällt mir gerade nicht ein, vielleicht hat ja jemand anderes eine (einfachere) Idee...
P.S.:
Ich muss auch nochmal drüber nachdenken, ob das mit den Extremalstellen überhaupt genügen würde. Aber mir ist's gerade ein wenig zu spät dafür 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Do 17.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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