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| Aufgabe | Gegebene Funktionsschar: [mm] x^3 [/mm] + [mm] 3k*x^2 [/mm] [k ungleich 0]
Die von Null verschiedene Nullstelle von fk heiße x1. Welche Wert hat das Integral von 0 bis x1?
Wie lässt sich das Vorzeichen von I(k) geometrisch unter Beachtung der Ergebnisse der Kurvendiskussion deuten? |
In einer vorherigen Aufgabe hab ich bereits die Nullstellen bestimmt:
x = 0 und x = -3k
Wir sollten k = 0,5 setzen.
Ich müsste also das Integral von 0 bis -1,5 berechnen.
Ich glaube meine Stammfunktion lautet: Fk(x) 0,25 [mm] x^4 [/mm] + [mm] kx^3
[/mm]
dann würde es ja sein:
F(-1,5) - F(0)
Mein Problem: muss das k in der Stammfunktion nicht mit k=0,5 gleichgesetzt werden? Sonst wüsste man ja gar nicht, dass die andere Nullstelle -1,5 ist.
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Hi, kleine Frau,
ist es OK, dass Dir ein Zwerglein hilft?
> Gegebene Funktionsschar: [mm]x^3[/mm] + [mm]3k*x^2[/mm] [k ungleich 0]
> Die von Null verschiedene Nullstelle von fk heiße x1.
> Welchen Wert hat das Integral von 0 bis x1?
> Wie lässt sich das Vorzeichen von I(k) geometrisch unter
> Beachtung der Ergebnisse der Kurvendiskussion deuten?
> In einer vorherigen Aufgabe hab ich bereits die
> Nullstellen bestimmt:
> x = 0 und x = -3k
Richtig. Dabei ist die erste doppelt, die zweite einfach.
> Wir sollten k = 0,5 setzen.
> Ich müsste also das Integral von 0 bis -1,5 berechnen.
>
> Ich glaube meine Stammfunktion lautet: Fk(x) 0,25 [mm]x^4[/mm] +
> [mm]kx^3[/mm]
> dann würde es ja sein:
> F(-1,5) - F(0)
>
> Mein Problem: muss das k in der Stammfunktion nicht mit
> k=0,5 gleichgesetzt werden? Sonst wüsste man ja gar nicht,
> dass die andere Nullstelle -1,5 ist.
So wie ich die Aufgabe verstehe, sollst Du mit der allgemeinen Nullstelle [mm] x_{1}=-3k [/mm] weitermachen, d.h.:
I(k) = [mm] \integral_{0}^{-3k}{f(x) dx} [/mm] = [mm] [0,25x^{4} [/mm] + [mm] kx^{3}]_{0}^{-3k}
[/mm]
= F(-3k) - F(0) = F(-3k) ausrechnen
und anschließend das Vorzeichen des Ergebnisses "geometrisch" deuten,
d.h. eine Aussage treffen über die gegenseitige Lage der Nullstellen und die Lage der Fläche, deren Inhalt hier bestimmt wird.
mfG!
Zwerglein
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| Aufgabe | Gegebene Funktionsschar: $ [mm] x^3 [/mm] $ + $ [mm] 3k\cdot{}x^2 [/mm] $ [k ungleich 0]
Die von Null verschiedene Nullstelle von fk heiße x1. Welche Wert hat das Integral von 0 bis x1?
Wie lässt sich das Vorzeichen von I(k) geometrisch unter Beachtung der Ergebnisse der Kurvendiskussion deuten? |
Ok. Soweit verstanden. Ich habe bei F(-3k) x= -3k gesetzt.
Ich erhalte dann als Ergebnis -6,75 [mm] k^4.
[/mm]
Aber wie deute ich das geometrisch?
Der Koeffizient ist negativ. Es handelt sich aber um eine Flächenberechnung. Und eine Fläche kann nicht negativ sein. Hieß das dan nicht "orientierter Inhalt"? Und mann muss dann den Betrag nehmen?
Egal ob man ein negatives oder positives k einsetzt, es bleibt negativ weil der Exponent gerade ist.
Wäre die geometrische Deutung, dass die Grenze -3k eigentlich die untere Grenze hätte sein müssen? Dann wäre das Integral positiv geworden:
F(0) - F(,3k) = 6,75 [mm] x^4
[/mm]
Oder bin ich komplett auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Mo 28.01.2008 | | Autor: | canuma |
das Ergebnis stimmt und deine Argumentation auch. Eine Fläche ist nie negativ. Die Integrationsgrenzen hängen vom Vorzeichen des gewälten k ab. Ändert sich das Vorzeichen von k so ändert sich auch das Vorzeichen der Fläche. Wenn du eine neg. Fläche erhälts hast du somit die Grenzen flaschrum gesetzt.
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