Funktionsschar, mündl. Prüfung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1. Prüfungsteil
Aufgabenstellung:
Die folgenden drei Schaubilder zeigen die Graphen zu den Funktionen der Schar [mm]f_k[/mm] mit
[mm]y = f_k (x) = \bruch{1} {4} x^4 - kx^2[/mm]
mit den Parameterwerten
k = -1
k = 0
k = +1
a) Ordnen Sie die Graphen den drei Parameterwerten begründet zu
b) Bestimmen sie für den Fall k = 8 die Extrempunkte des Graphen.
c) Weisen Sie nach, dass im allgemeinen Fall k > 0 das Verhältnis der Extrem- und Wendestellen [mm]x_E:x_W[/mm] unabhängig von k gleich [mm]\Wurzel {3} [/mm]beträgt.
d) Die Fläche, die der GRaph mit der Tangente in den Tiefpunkten einschließt, soll bestimmt werden. Erläutern Sie (ohne Konkrete Rechnung) Ihr Vorgehen unter Ausnutzung der Funktionseigenschaften. |
Ich bins wieder,
Erstmal hoffe ich das das klar geht das ich hier soviel Fragen stelle. Hab keine andere Anlaufstelle und wiederholen möchte ich nicht! :(
Es ist so, das ich bei Aufgabe a) nicht weiss wie man sowas zuordnet. Hab keine Ahnung...
b) habe ich gemacht und Extremwerte sind nach meinen Berechnungen -4 und 4.
c) Das verstehe ich nicht mal?
d) Also da weiss ich auch nicht wirklich was sie von mir wollen..
Ich danke wirklich jedem der mir hilft!
Blackpearl
|
|
| |
|
Hallo Blackpearl,
> 1. Prüfungsteil
> Aufgabenstellung:
> Die folgenden drei Schaubilder zeigen die Graphen zu den
> Funktionen der Schar [mm]f_k[/mm] mit
>
> [mm]y = f_k (x) = \bruch{1} {4} x^4 - kx^2[/mm]
> mit den
> Parameterwerten
> k = -1
> k = 0
> k = +1
>
>
> a) Ordnen Sie die Graphen den drei Parameterwerten
> begründet zu
> b) Bestimmen sie für den Fall k = 8 die Extrempunkte des
> Graphen.
> c) Weisen Sie nach, dass im allgemeinen Fall k > 0 das
> Verhältnis der Extrem- und Wendestellen [mm]x_E:x_W[/mm] unabhängig
> von k gleich [mm]\Wurzel {3} [/mm]beträgt.
> d) Die Fläche, die der
> GRaph mit der Tangente in den Tiefpunkten einschließt, soll
> bestimmt werden. Erläutern Sie (ohne Konkrete Rechnung) Ihr
> Vorgehen unter Ausnutzung der Funktionseigenschaften.
> Ich bins wieder,
>
> Erstmal hoffe ich das das klar geht das ich hier soviel
> Fragen stelle. Hab keine andere Anlaufstelle und
> wiederholen möchte ich nicht! :(
>
> Es ist so, das ich bei Aufgabe a) nicht weiss wie man sowas
> zuordnet. Hab keine Ahnung...
Nun, in erster Linie sind mal die Stellen interessant,
für die [mm]f\left(x\right)=0[/mm] ist.
>
> b) habe ich gemacht und Extremwerte sind nach meinen
> Berechnungen -4 und 4.
Und was ist mit dem Extremwert x=0?.
>
> c) Das verstehe ich nicht mal?
Berechne hier die Lösungen der Gleichungnen
[mm]f'\left(x_{E}\right)=0[/mm]
und
[mm]f''\left(x_{W}\right)=0[/mm]
Setze diese Lösungen dann ins Verhältnis.
>
> d) Also da weiss ich auch nicht wirklich was sie von mir
> wollen..
>
Hier sollst Du erläutern, wie Du die Fläche zwischen
der Tangente in den Tiefpunkten und dem Graphen unter
Ausnutzung der Funktioneigenschaften berechnest.
>
>
> Ich danke wirklich jedem der mir hilft!
>
> Blackpearl
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi mathepower,
> Nun, in erster Linie sind mal die Stellen interessant,
> für die [mm]f\left(x\right)=0[/mm] ist.
Also [mm]\bruch {1}{4}x^4 - kx^2=0[/mm]
d.h.
[mm]x^2 = 0 [/mm] und
[mm]x = \wurzel {4k}[/mm]
Jetzt habe ich alle 3 parameter k eingesetzt und habe rausgefunden das bei k=1 die Nulstelle bei 2 ist. Somit ist k=1 der 3. Graph bei mir!
Aber k=-1 und k=0 kann ich immernoch nicht differenzieren.
> Und was ist mit dem Extremwert x=0?.
Den hab ich. Nur vergessen reinzuschreiben.
> Berechne hier die Lösungen der Gleichungnen
>
> [mm]f'\left(x_{E}\right)=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]f''\left(x_{W}\right)=0[/mm]
>
> Setze diese Lösungen dann ins Verhältnis.
[mm]
f_k'(x) = x (x^2 - 2k)[/mm]
[mm]x= 0[/mm] und [mm]x =\wurzel {2k}[/mm]
[mm]f_k''(x) = 3x^2 - 2k[/mm]
[mm]3x^2 - 2k = 0[/mm]
[mm]x = \wurzel {\bruch{2k}{3}}[/mm]
[mm]\wurzel {2k} = \wurzel {\bruch{2k}{3}}[/mm] (Gleichsetzen?)
[mm]\wurzel {2k}[/mm] kürzt sich und es bleibt nurnoch [mm]\wurzel {3}[/mm]
Fertig?
> Hier sollst Du erläutern, wie Du die Fläche zwischen
> der Tangente in den Tiefpunkten und dem Graphen unter
> Ausnutzung der Funktioneigenschaften berechnest.
Würd ich gern erläutern weiss aber nicht wie das geht. :(
Gruß Blackpearl
|
|
|
| |
|
Hallo Blackpearl,
> Hi mathepower,
>
> > Nun, in erster Linie sind mal die Stellen interessant,
> > für die [mm]f\left(x\right)=0[/mm] ist.
>
> Also [mm]\bruch {1}{4}x^4 - kx^2=0[/mm]
> d.h.
> [mm]x^2 = 0[/mm] und
> [mm]x = \wurzel {4k}[/mm]
>
> Jetzt habe ich alle 3 parameter k eingesetzt und habe
> rausgefunden das bei k=1 die Nulstelle bei 2 ist. Somit ist
> k=1 der 3. Graph bei mir!
>
> Aber k=-1 und k=0 kann ich immernoch nicht differenzieren.
Stelle Dir die Frage für welche k es Nullstellen geben kann.
>
> > Und was ist mit dem Extremwert x=0?.
>
> Den hab ich. Nur vergessen reinzuschreiben.
>
>
> > Berechne hier die Lösungen der Gleichungnen
> >
> > [mm]f'\left(x_{E}\right)=0[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]f''\left(x_{W}\right)=0[/mm]
> >
> > Setze diese Lösungen dann ins Verhältnis.
>
> [mm]
f_k'(x) = x (x^2 - 2k)[/mm]
>
> [mm]x= 0[/mm] und [mm]x =\wurzel {2k}[/mm]
>
> [mm]f_k''(x) = 3x^2 - 2k[/mm]
>
> [mm]3x^2 - 2k = 0[/mm]
>
> [mm]x = \wurzel {\bruch{2k}{3}}[/mm]
>
> [mm]\wurzel {2k} = \wurzel {\bruch{2k}{3}}[/mm] (Gleichsetzen?)
>
> [mm]\wurzel {2k}[/mm] kürzt sich und es bleibt nurnoch [mm]\wurzel {3}[/mm]
>
> Fertig?
So:
[mm]\bruch{x_{E}}{x_{W}}=\bruch{\pm\wurzel{2k}}{\pm\wurzel{\bruch{2k}{3}}}[/mm]
>
> > Hier sollst Du erläutern, wie Du die Fläche zwischen
> > der Tangente in den Tiefpunkten und dem Graphen unter
> > Ausnutzung der Funktioneigenschaften berechnest.
>
> Würd ich gern erläutern weiss aber nicht wie das geht. :(
Hier ist keine konkrete Berechnung gefordert, sondern nur die Vorgehensweise.
Und das weisst Du bestimmt, wie Du hier vorgehen musst.
>
> Gruß Blackpearl
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi mathepower,
> Stelle Dir die Frage für welche k es Nullstellen geben
> kann.
Nur für positive k. Aber k = -1 und k = 0 haben nur eine Nullstelle im Ursprung. Irgendwie bringt mich das nicht weiter.
> So:
>
> [mm]\bruch{x_{E}}{x_{W}}=\bruch{\pm\wurzel{2k}}{\pm\wurzel{\bruch{2k}{3}}}[/mm]
Wofür dieses pm-Zeichen? Was habe ich jetzt nachgewiesen, dass sie UNABHÄNGIG sind weil sie nicht gleich sind?
> Hier ist keine konkrete Berechnung gefordert, sondern nur
> die Vorgehensweise.
>
> Und das weisst Du bestimmt, wie Du hier vorgehen musst.
Also, würde ich sagen das man erstmal die Tiefpunkte rausfindet, dann die Tiefpunkte integriert im Beispiel 1,5 zu -1,5 und die Fläche die man dann bekommen hat ist dann aber die Fläche zwischen x-Achse und Graph.
Da muss man bestimmt irgendnen Trick anwenden... garkeine Ahnung!
Gruß Blackpearl
|
|
|
| |
|
Hallo Blackpearl,
> Hi mathepower,
>
> > Stelle Dir die Frage für welche k es Nullstellen geben
> > kann.
>
> Nur für positive k. Aber k = -1 und k = 0 haben nur eine
> Nullstelle im Ursprung. Irgendwie bringt mich das nicht
> weiter.
Gut, die Funktionen [mm]f_{-1}[/mm] und [mm]f_{0}[/mm]
sind positiv bzw [mm]\ge 0[/mm].
Dann liegt es wohl nahe, die Funktionen zu vergleichen.
Anhand diese Vergleiches solltest Du das dann herausfinden.
>
> > So:
> >
> >
> [mm]\bruch{x_{E}}{x_{W}}=\bruch{\pm\wurzel{2k}}{\pm\wurzel{\bruch{2k}{3}}}[/mm]
>
> Wofür dieses pm-Zeichen? Was habe ich jetzt nachgewiesen,
> dass sie UNABHÄNGIG sind weil sie nicht gleich sind?
Nun eine qaudratische Gleichung der Form
[mm]x^{2}=2k, \ k>0[/mm]
hat immer die Lösungen
[mm]x_{1}=-\wurzel{2k}, \ x_{2}=+\wurzel{2k}[/mm]
Du hast jetzt nachgewiesen, daß sich die Extrempunkte [mm]x_{E} \not =0[/mm]
und die Wendepunkte [mm]x_{W} \not=0[/mm] wie [mm]\pm\wurzel{3}:1[/mm] verhalten. Hierbei gilt das Pluszeichen, wenn sie auf derselben Seite liegen.
>
> > Hier ist keine konkrete Berechnung gefordert, sondern nur
> > die Vorgehensweise.
> >
> > Und das weisst Du bestimmt, wie Du hier vorgehen musst.
>
> Also, würde ich sagen das man erstmal die Tiefpunkte
> rausfindet, dann die Tiefpunkte integriert im Beispiel 1,5
> zu -1,5 und die Fläche die man dann bekommen hat ist dann
> aber die Fläche zwischen x-Achse und Graph.
>
> Da muss man bestimmt irgendnen Trick anwenden... garkeine
> Ahnung!
>
Nun, welche Eigenschaft besitzt eine Funktion, die nur gerade Exponenten hat?
>
> Gruß Blackpearl
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi mathepower,
> Gut, die Funktionen [mm]f_{-1}[/mm] und [mm]f_{0}[/mm]
> sind positiv bzw [mm]\ge 0[/mm].
>
> Dann liegt es wohl nahe, die Funktionen zu vergleichen.
>
> Anhand diese Vergleiches solltest Du das dann
> herausfinden.
Was soll ich vergleichen?
> Nun eine qaudratische Gleichung der Form
>
> [mm]x^{2}=2k, \ k>0[/mm]
>
> hat immer die Lösungen
>
> [mm]x_{1}=-\wurzel{2k}, \ x_{2}=+\wurzel{2k}[/mm]
>
> Du hast jetzt nachgewiesen, daß sich die Extrempunkte [mm]x_{E} \not =0[/mm]
>
> und die Wendepunkte [mm]x_{W} \not=0[/mm] wie [mm]\pm\wurzel{3}:1[/mm]
> verhalten. Hierbei gilt das Pluszeichen, wenn sie auf
> derselben Seite liegen.
Musst du nicht weiter erklären wenn es nicht geht aber diesen Teil versteh ich ganz und garnicht.
> Nun, welche Eigenschaft besitzt eine Funktion, die nur
> gerade Exponenten hat?
Sie ist Achsensymetrisch.
Blackpearl
|
|
|
| |
|
Hallo Blackpearl,
> Hi mathepower,
>
>
> > Gut, die Funktionen [mm]f_{-1}[/mm] und [mm]f_{0}[/mm]
> > sind positiv bzw [mm]\ge 0[/mm].
> >
> > Dann liegt es wohl nahe, die Funktionen zu vergleichen.
> >
> > Anhand diese Vergleiches solltest Du das dann
> > herausfinden.
>
> Was soll ich vergleichen?
Vergleich [mm]f_{-1}[/mm] mit [mm]f_{0}[/mm]
und setze sie in Relation zueinander.
>
> > Nun eine qaudratische Gleichung der Form
> >
> > [mm]x^{2}=2k, \ k>0[/mm]
> >
> > hat immer die Lösungen
> >
> > [mm]x_{1}=-\wurzel{2k}, \ x_{2}=+\wurzel{2k}[/mm]
> >
> > Du hast jetzt nachgewiesen, daß sich die Extrempunkte [mm]x_{E} \not =0[/mm]
>
> >
> > und die Wendepunkte [mm]x_{W} \not=0[/mm] wie [mm]\pm\wurzel{3}:1[/mm]
> > verhalten. Hierbei gilt das Pluszeichen, wenn sie auf
> > derselben Seite liegen.
>
> Musst du nicht weiter erklären wenn es nicht geht aber
> diesen Teil versteh ich ganz und garnicht.
Was verstehst Du daran nicht?
>
> > Nun, welche Eigenschaft besitzt eine Funktion, die nur
> > gerade Exponenten hat?
>
> Sie ist Achsensymetrisch.
Und das heißt, die Flächen sind links und rechts der y-Achse gleich.
Das vereinfacht wiederum die Berechnung.
>
> Blackpearl
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Hi mathepower,
> Vergleich [mm]f_{-1}[/mm] mit [mm]f_{0}[/mm]
> und setze sie in Relation zueinander.
> > > Nun eine qaudratische Gleichung der Form
> > >
> > > [mm]x^{2}=2k, \ k>0[/mm]
> > >
> > > hat immer die Lösungen
> > >
> > > [mm]x_{1}=-\wurzel{2k}, \ x_{2}=+\wurzel{2k}[/mm]
> > >
> > > Du hast jetzt nachgewiesen, daß sich die Extrempunkte [mm]x_{E} \not =0[/mm]
> > Musst du nicht weiter erklären wenn es nicht geht aber
> > diesen Teil versteh ich ganz und garnicht.
>
>
> Was verstehst Du daran nicht?
Was mir dieses Verhältnis besagt und wie ich erkenne ob es unabhängig ist oder nicht.
> > > Nun, welche Eigenschaft besitzt eine Funktion, die nur
> > > gerade Exponenten hat?
> >
> > Sie ist Achsensymetrisch.
>
>
> Und das heißt, die Flächen sind links und rechts der
> y-Achse gleich.
> Das vereinfacht wiederum die Berechnung.
Irgendwie kann ich mir die Fläche nicht vorstellen.. :(
Blackpearl
|
|
|
| |
|
Hallo Blackpearl,
> Hi mathepower,
>
> > Vergleich [mm]f_{-1}[/mm] mit [mm]f_{0}[/mm]
> > und setze sie in Relation zueinander.
>
> > > > Nun eine qaudratische Gleichung der Form
> > > >
> > > > [mm]x^{2}=2k, \ k>0[/mm]
> > > >
> > > > hat immer die Lösungen
> > > >
> > > > [mm]x_{1}=-\wurzel{2k}, \ x_{2}=+\wurzel{2k}[/mm]
> > > >
> > > > Du hast jetzt nachgewiesen, daß sich die Extrempunkte [mm]x_{E} \not =0[/mm]
>
> > > Musst du nicht weiter erklären wenn es nicht geht aber
> > > diesen Teil versteh ich ganz und garnicht.
> >
> >
> > Was verstehst Du daran nicht?
>
> Was mir dieses Verhältnis besagt und wie ich erkenne ob es
> unabhängig ist oder nicht.
Unabhängig ist das Verhältnis, wenn im selbigen
kein k in irgendeiner Form mehr vorkommt.
> > > > Nun, welche Eigenschaft besitzt eine Funktion, die
> nur
> > > > gerade Exponenten hat?
> > >
> > > Sie ist Achsensymetrisch.
> >
> >
> > Und das heißt, die Flächen sind links und rechts der
> > y-Achse gleich.
> > Das vereinfacht wiederum die Berechnung.
>
> Irgendwie kann ich mir die Fläche nicht vorstellen.. :(
Die Tangentengleichung in den Tiefpunkten lautet ja [mm]y=c[/mm],
wobei c der Funktionswert ist, denn f an der Stelle der Tiefpunkte annimmt.
Die Schnittpunkte mit den Graphen sind die x-Werte der Tiefpunkte.
Dadurch ist das Intervall festgelegt, von welchem die Fläche zu ermitteln ist.
>
> Blackpearl
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Also muss ich nur die Ableitung der Funktionsschar finden, notwendige Bedingung benutzen, hinreichende benutzen und den x-Wert in die Funktion einsetzen, damit ich den y-Wert erhalte und den Punkt dann ebenso als negativen Wert nehmen (da Achsensymetrie).
Sagen wir ich habe 3 als Tiefpunkt rausgefunden, muss ich also -3 nehmen und einfach integrieren mit der Stammfunktion.
Wars das?^^ Wenn ja versteh ich nicht wieso das was mit der Tangente zutun hat. :(
|
|
|
| |
|
Hallo Blackpearl,
> Also muss ich nur die Ableitung der Funktionsschar finden,
> notwendige Bedingung benutzen, hinreichende benutzen und
> den x-Wert in die Funktion einsetzen, damit ich den y-Wert
> erhalte und den Punkt dann ebenso als negativen Wert nehmen
> (da Achsensymetrie).
>
> Sagen wir ich habe 3 als Tiefpunkt rausgefunden, muss ich
> also -3 nehmen und einfach integrieren mit der
> Stammfunktion.
>
> Wars das?^^ Wenn ja versteh ich nicht wieso das was mit der
> Tangente zutun hat. :(
Eine Fläche kannst Du nur berechnen, wenn sie von 2 Kurven begrenzt wird.
In diesem Fall hier ist das die Funktion [mm]f\left(x\right)[/mm] und eben die Tangente in den Tiefpunkten.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Mi 10.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch den Graphen wenigstens fuer k=1 vor dir. du willst nicht die flaeche zwischen x-Achse und Kurve, sondern die zwischen der Tangente in den 2 Tiefpunkten und der Kurve.
wegen der Symmetrie musst du nur die Haelfte berechnen, also die Flaeche zw, der Tangente y=-64 und der Kurve von 0 bis 4.
Noch zu a) die Kurve [mm] 1/4x^4 [/mm] waechst doch weniger schnell als die Kurve [mm] 1/4x^4+x^2, [/mm] daran erkennst du sie direkt k=0 und k+1.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Wie kommst du auf +x² aber ich weiss was du meinst.. wenn der Parameter 0 ist faellt dieser kleine Teil weg, da er mit 0 multipliziert 0 ergibt.
Also weiss ich jetzt das der Funktion, der dazu addiert oder subtrahiert wird, über den Graphen aussagt ob er eng oder weit verläuft?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Mi 10.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Wie kommst du auf +x² aber ich weiss was du meinst.. wenn
> der Parameter 0 ist faellt dieser kleine Teil weg, da er
> mit 0 multipliziert 0 ergibt.
>
> Also weiss ich jetzt das der Funktion, der dazu addiert
> oder subtrahiert wird, über den Graphen aussagt ob er eng
> oder weit verläuft?
Hallo
Da x² immer positiv ist, und dieser Teil addiert wird, werden die Funktionswerte von [mm] f(x)=\bruch{x^{4}}{4} [/mm] immer kleiner als [mm] g(x)=\bruch{x^{4}}{4}+x² [/mm] sein (ausser bei x=0)
Marius
|
|
|
|
