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Funktionsuntersuchung: Hausaufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Sa 29.04.2006
Autor: Kristof

Aufgabe
Zeige das die Funktion f keine relativen Extremstellen besitzen kann.

a.) f (x) = 2x -1
b.) f (x) = (1)/(x)

Hallo,
Irgendwie weiß ich bei dieser Aufgabe gar nicht was ich machen soll, bzw. wie ich das Zeigen soll das es keine relativen Extremstellen geben kann.

Ich weiß: Die Funktion f sei an der Stelle [mm] x_E [/mm] differenzierbar. Wenn [mm] x_E [/mm] relative Extremstelle ist dann gilt : [mm] f'(x_E) [/mm] = 0

Schön, aber Anfangen kann ich damit auch nicht viel.

a.)

f (x) = 2x -1
f'(x) = 2

Wenn ich [mm] f'(x_E) [/mm] jetzt mit 0 gleichzetze bekomme ich ja 2 = 0 raus.
War das jetzt schon alles um zu zeigen das die Funktion keine relativen Extremstellen hat?

b.)

f (x) =  (1)/(x)
f'(x) = -(1)/(x²)

[mm] f'(x_E) [/mm] = 0
-(1)/(x²) = 0  | x²
-1 = x²         |  [mm] \wurzel [/mm]
[mm] \wurzel{-1} [/mm] = x

Da man die Wurzel nicht aus negativen Zahlen ziehen kann würde es das hier auch zeigen das sie keine relativen Extremstellen haben kann oder?


Gibt noch mehr Aufgaben, erstmal nur um zu zeigen ob es so wie ich's mache richtig ist.

Danke schonmal im Voraus,

MFG
Kristof


        
Bezug
Funktionsuntersuchung: notwendiges Kriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Sa 29.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Kristof!


Grundsätzlich ist Deine Vorgehensweise absolut richtig. Schließlich muss für die Existenz von relativen Extrema das notwendige Kriterium mit [mm] $f'(x_E) [/mm] \ = \ 0$ erfüllt sein.

Wenn dann - wie bei Dir gezeigt - dieses Kriterium nicht erfüllt ist  [mm] $\Rightarrow$ [/mm]  keine relativen Extrema!


Kleine Korrektur zur Rechnung:

> -(1)/(x²) = 0  | x²
> -1 = x²

[notok] Nach der Multiplikation mit [mm] $x^2 [/mm] \ ( \ [mm] \not= [/mm] \ 0)$ muss die Folgezeile heißen:

$-1 \ = \ 0$  [mm] $\Rightarrow$ [/mm]  falsche Aussage!


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Funktionsuntersuchung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 Sa 29.04.2006
Autor: Kristof


> Hallo Kristof!
>  
>
> Grundsätzlich ist Deine Vorgehensweise absolut richtig.
> Schließlich muss für die Existenz von relativen Extrema das
> notwendige Kriterium mit [mm]f'(x_E) \ = \ 0[/mm] erfüllt sein.
>  
> Wenn dann - wie bei Dir gezeigt - dieses Kriterium nicht
> erfüllt ist  [mm]\Rightarrow[/mm]  keine relativen Extrema!
>  
>
> Kleine Korrektur zur Rechnung:
>  
> > -(1)/(x²) = 0  | x²
>  > -1 = x²

>  
> [notok] Nach der Multiplikation mit [mm]x^2 \ ( \ \not= \ 0)[/mm]
> muss die Folgezeile heißen:
>  
> [mm]-1 \ = \ 0[/mm]  [mm]\Rightarrow[/mm]  falsche Aussage!

Ups :(
Stimmt hast du recht denn 0 * x² ist ja 0 nicht wahr?
Dummer Fehler...

> Gruß
>  Loddar


Vielen Dank

Bezug
        
Bezug
Funktionsuntersuchung: Rest der Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Sa 29.04.2006
Autor: Kristof

Aufgabe
Zeige das die Funktion f keine relativen Extremstellen besitzen kann.

c.) f (x) = x³+3x
d.) f (x) = 2x³ +3x² +6x
e.) f (x) = x³-3x²+3x-1
f.) f (x) = (1)/(x) - 2x

Nur um nochmal zu Checken ob ich's richtig gemacht habe. Hier die vorgehensweise der anderen Aufgaben.

c.)

f (x) = x³+3x
f'(x) = 3x² +3

[mm] f'(x_E) [/mm] = 0

3x² +3 = 0 | : 3x²
3 = (0)/(3x²)
3 = 0

d.)

f (x) = 2x³ +3x² +6x
f'(x) = 6x² +6x+6

[mm] f'(x_E) [/mm] = 0

6x² +6x +6 = 0 | : 6x²+6x
6 = (0)/(6x²+6x)
6 = 0

e.)


f (x) = x³-3x²+3x-1
f'(x) = 3x²-6x+3

[mm] f'(x_E) [/mm] = 0

3x²-6x+3 = 0 | : 3x²-6x
3 = (0)/(3x²-6x)
3 = 0


f.)

f (x) = (1)/(x) - 2x
f'(x) = -(1)/(x²)-2

[mm] f'(x_E) [/mm] = 0

-(1)/(x²)-2 = 0 | *x²
-1 -2 = 0*x²
-3 = 0

Wäre das soweit richtig?
Habe dann noch als Satz drunter geschrieben :

Da das notwendige Kriterium für die Existenz von reativen Extrema mit [mm] f'(x_E) [/mm] = 0 nicht erfüllt werden konnte gibt es bei den Funktionen keine  relativen Extrema!


Reicht das für die Aufgabe? Oder fehlt da noch irgendwas?
Mein Lehrer ist da immer sehr pingelich ... :(

MFG
Kristof

Bezug
                
Bezug
Funktionsuntersuchung: schwere Umformungsfehler!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 Sa 29.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Kristof!


Da hast Du beim Umformen / Umstellen aber so einige Patzer drin ...


> c.)
> f (x) = x³+3x
> f'(x) = 3x² +3

> 3x² +3 = 0 | : 3x²

Du darfst nicht einfach durch [mm] $3x^2$ [/mm] teilen, da dies auch den Wert $0_$ haben könnte.

Teile die Gleichung durch $3_$ und stelle anschließend um nach [mm] $x^2 [/mm] \ = \ ...$ .


> d.)
> f (x) = 2x³ +3x² +6x
> f'(x) = 6x² +6x+6

> 6x² +6x +6 = 0 | : 6x²+6x

[notok] Auch hier nicht durch etwas teilen, wo die Variable enthalten ist.

Teile durch $3_$, anschließend MBp/q-Formel ...


> e.)
>
> f (x) = x³-3x²+3x-1
> f'(x) = 3x²-6x+3

> 3x²-6x+3 = 0 | : 3x²-6x

Wie eben ...




> f.)
> f (x) = (1)/(x) - 2x
> f'(x) = -(1)/(x²)-2

> -(1)/(x²)-2 = 0 | *x²
> -1 -2 = 0*x²

[notok] Du musst auch den Term $-2_$ mit [mm] $x^2$ [/mm] multiplizieren:

[mm] $-1-2x^2 [/mm] \ = \ 0$


> Habe dann noch als Satz drunter geschrieben :
> Da das notwendige Kriterium für die Existenz von reativen
> Extrema mit [mm]f'(x_E)[/mm] = 0 nicht erfüllt werden konnte gibt es
> bei den Funktionen keine  relativen Extrema!

[ok]


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
Funktionsuntersuchung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Sa 29.04.2006
Autor: Kristof


> Hallo Kristof!
>  
>
> Da hast Du beim Umformen / Umstellen aber so einige Patzer
> drin ...

Mist, da muss ich ja echt nochmal einiges nachholen :(

> > c.)
> > f (x) = x³+3x
>  > f'(x) = 3x² +3

>  
> > 3x² +3 = 0 | : 3x²
>  
> Du darfst nicht einfach durch [mm]3x^2[/mm] teilen, da dies auch den
> Wert [mm]0_[/mm] haben könnte.
>  
> Teile die Gleichung durch [mm]3_[/mm] und stelle anschließend um
> nach [mm]x^2 \ = \ ...[/mm] .

       3x² +3 = 0 | : 3
=     x² + 1 = 0  | -1
=     x² = -1       |  [mm] \wurzel [/mm]
=     x   =  [mm] \wurzel{-1} [/mm]

So richtig?

> > d.)
> > f (x) = 2x³ +3x² +6x
>  > f'(x) = 6x² +6x+6

>  
> > 6x² +6x +6 = 0 | : 6x²+6x
>  
> [notok] Auch hier nicht durch etwas teilen, wo die Variable
> enthalten ist.
>  
> Teile durch [mm]3_[/mm], anschließend MBp/q-Formel ...

Wieso hier nicht durch 6 teilen? Ginge das nicht besser?

    6x² +6x +6 = 0 | : 3
=  2x² +2x +2 = 0

[mm] x_1,2 [/mm] = -1 +|-  [mm] \wurzel{1²-2} [/mm]
[mm] x_1,2 [/mm] = -1 +|-  [mm] \wurzel{-1} [/mm]

Das geht ja wieder nicht.
So richtig?

> > e.)
>  >

> > f (x) = x³-3x²+3x-1
>  > f'(x) = 3x²-6x+3

>  
> > 3x²-6x+3 = 0 | : 3x²-6x
>  
> Wie eben ...
>  

Okay :

      3x²-6x+3 = 0 | : 3
=    x²- 2x +1 = 0
[mm] x_1,2 [/mm] = 1 +|-  [mm] \wurzel{(1²-1} [/mm]
[mm] x_1.2 [/mm] = 1 +|-  [mm] \wurzel{0} [/mm]

Dies geht mal wieder nicht.
So richtig?

>
> > f.)
> > f (x) = (1)/(x) - 2x
>  > f'(x) = -(1)/(x²)-2

>  
> > -(1)/(x²)-2 = 0 | *x²
>  > -1 -2 = 0*x²

>  
> [notok] Du musst auch den Term [mm]-2_[/mm] mit [mm]x^2[/mm] multiplizieren:
>  
> [mm]-1-2x^2 \ = \ 0[/mm]

       -(1)/(x²)-2 = 0 | *x²
=      -1 -2x²     = 0 | : (-2)
=     1/2 + x²    = 0 | - 1/2
=        x²          = - 1/2 |  [mm] \wurzel [/mm]
=        x            =  [mm] \wurzel{-1/2} [/mm]

Da das durch das negative Vorzeichen in der Regel nicht geht, hab ich's ja schon rechnerisch gezeigt oder?

> > Habe dann noch als Satz drunter geschrieben :
>  > Da das notwendige Kriterium für die Existenz von

> reativen
> > Extrema mit [mm]f'(x_E)[/mm] = 0 nicht erfüllt werden konnte gibt es
> > bei den Funktionen keine  relativen Extrema!
>  
> [ok]
>  
>
> Gruß
>  Loddar


Danke schonmal wieder.

MFG
Kristof

Bezug
                                
Bezug
Funktionsuntersuchung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Sa 29.04.2006
Autor: Xartes

stimmt alles, bis auf e), du kannst die wurzel aus 0 ziehen, sodass e) als einzige von allen funktionen ein relatives extremum hat



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