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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Magnia |
Hallo
Ich habe eine Aufgabe wo ich nicht ganz weiter komme:
Gegeben sind Funktionen fk durch fk(x)= x³-3x²+kx
und die Aufgabe lautet : Untersuche, wie k die Existenz und die Lage der relativen Extremstellen von fk beeinglusst
Zur existenz habe ich herausgefunden, dass k nicht größer als 3 sein darf
da sonst - unter der wurzel steht (PQ Formel):
f`k(x)= 3x²-6x+k=0
1,5 +/- [mm] \wurzel{1²-k/3}
[/mm]
Doch leider weiss ich nicht wie es die Lage verändert !
Natürlich ist es so das sich die relativen Extremstellen verschieben und das es von k abhängig ist doch wie kann man das beweisen ?
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Youri |
> Hallo
Hallo Magnia!
> Gegeben sind Funktionen fk durch fk(x)= x³-3x²+kx
[mm]f_k(x)=x^3-3x^2+kx[/mm]
> und die Aufgabe lautet : Untersuche, wie k die Existenz und
> die Lage der relativen Extremstellen von fk beeinglusst
> Zur existenz habe ich herausgefunden, dass k nicht größer
> als 3 sein darf
Das ist doch schon eine schöne Idee.
> da sonst - unter der wurzel steht (PQ Formel):
>
> f'k(x)= 3x²-6x+k=0
Also mal schauen -
Du hast die Ableitung bestimmt.
[mm]f_k(x)=x^3-3x^2+kx[/mm]
[mm]f_k'(x)=3x^2-6x+k [/mm]
Also - RICHTIG ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Dann gleich Null setzen...
[mm]f_k'(x)=3x^2-6x+k=0 [/mm]
[mm] x^2-2x+\bruch {k}{3}=0[/mm]
[mm]x_{1/2}=1 \pm \wurzel {1-\bruch{k}{3}}[/mm]
> 1,5 +/- [mm]\wurzel{1²-k/3}
[/mm]
Mein Ergebnis ist ein wenig anders.
Doch da der Term unter der Wurzel derselbe bleibt,
ist Deine Schlussfolgerung auf jeden Fall nicht falsch.
Diese Schlussfolgerung solltest Du aber noch verfeinern.
Wenn z.B. [mm]k=3[/mm] ist, dann hast Du nur eine mögliche Extremstelle.
Du solltest mithilfe der zweiten Ableitung auch noch überprüfen, ob Deine möglichen Extremstellen tatsächlich welche sind.
[mm] f_k''(x)=6x-6[/mm]
Dort Deine möglichen Extremstellen einsetzen -
Ebenso in die Ausgangsfunktion - damit Du siehst,
welche Punkte genau Deine Extremstellen sind.
> Doch leider weiss ich nicht wie es die Lage verändert !
Probier doch mal aus, allgemein die möglichen Extremstellen in die Ausgangsfunktion einzusetzen...
> Natürlich ist es so das sich die relativen Extremstellen
> verschieben und das es von k abhängig ist doch wie kann man
> das beweisen ?
Beweisen musst Du das nicht.
Du solltest sie nur allgemein bestimmen.
> Ich hoffe Ihr könnt mir helfen ?
Leider habe ich jetzt keine Zeit mehr,
das ausführlicher zu beantworten.
Vielleicht hilft Dir das schon ein bisschen.
Lieben Gruß,
Andrea.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Magnia |
ich habe es mal ausprobiert :
erkenne aber nicht wirklich eine regelmäßigkeit !?
Im Bereich von 0-3 verschieben sich die Extrempunkte immer weiter nach oben ( y -Achse) und von -1 zu -3 immer mehr nach unten
ist das die Regelmäßigkeit ?
Wie kann ich das am besten erläutern ?
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> ich habe es mal ausprobiert :
> erkenne aber nicht wirklich eine regelmäßigkeit !?
> Im Bereich von 0-3 verschieben sich die Extrempunkte immer
> weiter nach oben ( y -Achse) und von -1 zu -3 immer mehr
> nach unten
> ist das die Regelmäßigkeit ?
> Wie kann ich das am besten erläutern ?
Ich würde nicht nach einer Regelmäßigkeit forschen,
sondern beschreiben:
für k [mm] \ge [/mm] 3 gibt es keine Extrempunkte.
für k [mm] \rightarrow [/mm] - [mm] \infty [/mm] bewegen sich die Extremstellen auseinander.
Für die Punkte gilt: der Tiefpunkt wandert nach unten rechts, der Hochpunkt nach oben links.
Die Nullstelle bei [mm] x_N [/mm] = 0 ist von k unabhängig immer vorhanden,
für k < 3 gibt es zwei weitere Nullstellen.
Um die genaue Lage der Hoch/Tiefpunkte zu beschreiben, ist der Term m.E. zu kompliziert.
Theoretisch könnte man aus [mm] x_E [/mm] die Variable k bestimmen und in [mm] y_E [/mm] einsetzen, um k zu eliminieren.
Man erhielte dann die  Ortskurve eines Extrempunkts.
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Hallo Magnia,
Youri hat dir ja schon vieles bestätigt.
Ich habe dasselbe Ergebnis und habe versucht, die y-Werte zu berechnen.
Ziemlich unhandlich.
Aber:
vielleicht nimmst du ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot und läßt dir die Funktion mal zeichnen?
Dann erkennst du ganz gut, dass es für k>3 keine Extremstellen mehr gibt. etc.
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