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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Airgin |
| Aufgabe | Untersuche die Funktion f. Berücksichtige auch das Verhalten von f für [mm] x\to\infty [/mm] und [mm] x\to0
[/mm]
f(x) = ((2ln(1-x))+1) / (x²-2x+1) |
Hi,
da ich in den Stunden gefehlt hab in denen wir die Funktionsuntersuchung einer solchen Funktion durchgenommen haben, weiß ich überhaupt was ich machen soll.
Kann mir jemand die Aufgabe vorrechnen, damit ich weiß wie es geht um die nächste Funktion selber zu untersuchen?
LG
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> Untersuche die Funktion f. Berücksichtige auch das
> Verhalten von f für [mm]x\to\infty[/mm] und [mm]x\to0[/mm]
> f(x) = ((2ln(1-x))+1) / (x²-2x+1)
> Hi,
> da ich in den Stunden gefehlt hab in denen wir die
> Funktionsuntersuchung einer solchen Funktion durchgenommen
> haben, weiß ich überhaupt was ich machen soll.
> Kann mir jemand die Aufgabe vorrechnen, damit ich weiß wie
> es geht um die nächste Funktion selber zu untersuchen?
>
> LG
Vorrechnen wäre wohl etwas zu viel verlangt, wenn es heißt, eine komplette Kurvendiskussion zu machen, oder? Im Internet findest du doch zentimeterweise Hilfen zu diesem Thema und auch, was du machen musst, also schreib doch bitte Probleme rein!
Normalerweise untersuchst du:
Definitionsbereich, Wertebereich, Schnittpunkte mit den Achsen, Verhalten im Unendlichen, Asymptoten, Extrema, Wendepunkte
Dann fertigst du noch eine Skizze an. Jetzt kannst du doch Schritt für Schritt diese Dinge umsetzen.
1.) Definitionsbereich: Dafür musst du schauen, welche x-Werte nicht eingesetzt werden dürfen. So darf der Nenner nicht 0 werden, da durch 0 teilen nicht definiert ist. Desweiteren hast du im Zähler einen natürlichen Logarithmus ln(x), dessen Definitionsbereich von vornherein nur x>0 ist, daher gilt diese Einschränkung auch für die gesamte Funktion.
2) NST solltest du können, dazu den Term 0 setzen. Übrig bleibt
$ 2ln(1-x)+1=0 $
$ 2ln(1-x)=-1 $
$ ln(1-x)=-1/2 $
$ [mm] e^{ln(1-x)}=e^{-1/2} [/mm] $
$ [mm] 1-x=\bruch{1}{\wurzel{e}} [/mm] $
$ [mm] x=-\bruch{1}{\wurzel{e}}+1 [/mm] $
Das ist deine NST
3) Verhalten im Unendlichen, dafür musst du dir die Funktion für große x-Werte ansehen, am besten mit dem Taschenrechner Werte einsetzen.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{2ln(1-x))+1}{(x-1)^2})$
[/mm]
Nun, wenn x immer größer wird, ist der Zähler überhaupt nicht definiert, denn ln(x) erfordert ein positives Argument, daher existiert kein Grenzwert für große x-Werte. Die einzige Polstelle ist bei x=1 und der Graph nähert sich dieser Polstelle für x-Werte ganz nahe an 1, aber rechts davon exisitiert der Graph nicht.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}(\bruch{2ln(1-x))+1}{(x-1)^2})=0 [/mm] $
Der ln(x) enthält zwar große Argumente, aber der ln steigt sehr langsam an, [mm] (x-1)^2 [/mm] steigt dagegen sehr rasch an, daher wird der Nenner viel größer und der Bruch 0. Wende hier auch de L'Hopital an. Dann siehst du es schön klar.
4) Für die Ableitung benötigst du die Quotientenregel. Dann die erste Ableitung gleich 0 setzen und mit der zweiten Überprüfen.
5) Für Wendepunkte die zweite Ableitung 0 setzen und ggf. mit der dritten Ableitung überprüfen
6) Et voila: zeichnen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Airgin |
Vielen Dank für deine Hilfe. Du hast Recht, eine komplette Kurvendisskusion wäre zu viel verlangt. Eigentlich wollte ich nur wissen wie man diese Funktion ableitet. Kannst du mir vllt vorrechenen wie man bei dieser Funktion ableitet?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Sa 22.11.2008 | | Autor: | janmoda |
Hallo,
Für die Ableitung eines Quotienten gilt:
[mm] y=\bruch{u}{v}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{u'v-uv'}{v^{2}}
[/mm]
in deinem Fall:
u=2ln(1-x)+1 v=x²-2x+1
[mm] y=\bruch{2ln(1-x)+1}{x^2-2x+1}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{[(2ln(1-x)+1)'*(x^2-2x+1)]-[(2ln(1-x)+1)*(x^2-2x+1)']}{(x^2-2x+1)^{2}}
[/mm]
Ich hoffe, dass du die nun noch erforderlichen restlichen Schritte allein lösen kannst, ansonsten frage gerne nach weiterer Hilfe!
Gruß janmoda
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