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| Aufgabe | Für jedes t [mm] \in \IR+ [/mm] geht der Graph einer ganzrationalen Funktion [mm] f_{t} [/mm] dritten Grades durch die Punkte O(0/0), A(t/0) und B(2t/0); im Ursprung hat der Graph eine Tangente mit der Steigung 2t², der Punkt A ist Wendepunkt.
a) Ermitteln Sie [mm] f_{t}(x). [/mm] |
Hallo Zusammen,
Die Funktion ist dritten Grades: [mm] f_{t}(x)= [/mm] ax³+bx²+cx+d
1. Ableitung: [mm] f_{t}'(x)= [/mm] 3ax²+2bx+c
Einsetzen der 3 Punkte ergibt:
[mm] f_{t}(0)=0: [/mm] d=0
[mm] f_{t}(t)=0: [/mm] at³+bt²+ct=0
[mm] f_{2t}(t)=0: [/mm] 8at³+4bt²+2ct=0
die Tangente im Ursprung:
[mm] f_{t}'(0)=2t²: [/mm] c=2t²
Laut Lösungsbuch liefert das : [mm] f_{t}(x)= [/mm] x³-3tx²+2t²x
Wie komme ich aber auf [mm] f_{t}(x)= [/mm] x³-3tx²+2t²x?
Herzliche Grüße
matherein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Di 28.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Für jedes t [mm]\in \IR+[/mm] geht der Graph einer ganzrationalen
> Funktion [mm]f_{t}[/mm] dritten Grades durch die Punkte O(0/0),
> A(t/0) und B(2t/0); im Ursprung hat der Graph eine Tangente
> mit der Steigung 2t², der Punkt A ist Wendepunkt.
> a) Ermitteln Sie [mm]f_{t}(x).[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> Die Funktion ist dritten Grades: [mm]f_{t}(x)=[/mm] ax³+bx²+cx+d
> 1. Ableitung: [mm]f_{t}'(x)=[/mm] 3ax²+2bx+c
> Einsetzen der 3 Punkte ergibt:
> [mm]f_{t}(0)=0:[/mm] d=0
> [mm]f_{t}(t)=0:[/mm] at³+bt²+ct=0
> [mm]f_{2t}(t)=0:[/mm] 8at³+4bt²+2ct=0
> die Tangente im Ursprung:
> [mm]f_{t}'(0)=2t²:[/mm] c=2t²
> Laut Lösungsbuch liefert das : [mm]f_{t}(x)=[/mm] x³-3tx²+2t²x
> Wie komme ich aber auf [mm]f_{t}(x)=[/mm] x³-3tx²+2t²x?
Hallo,
die Funktion hat die drei Nullstellen 0, t und 2t.
Eine solche Funktion ist
y=(x-0)(x-t)(x-2t).
Uberzeuge dich davon, dass sie tatsächlich diese 3 Nullstellen hat.
Jede Funktion dieser Art hat die Form
y=a*(x-0)(x-t)(x-2t).
Die letzten 3 Klammern kannst du ausmultiplizieren und erhältst ein Polynom dritten Grades.
Der Wert a ist nun noch so zu wählen, dass der geforderte Anstieg stimmt.
Gruß Abakus
>
> Herzliche Grüße
> matherein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Sa 02.05.2009 | | Autor: | matherein |
Hallo Abakus,
danke für die Antwort bei dieser Teilaufgabe.
Gruß
matherein
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| Aufgabe | Für jedes t [mm] \in \IR+ [/mm] geht der Graph einer ganzrationalen Funktion [mm] f_{t} [/mm] dritten Grades durch die Punkte O(0/0), A(t/0) und B(2t/0); im Ursprung hat der Graph eine Tangente mit der Steigung 2t², der Punkt A ist Wendepunkt.
b)Für welchen Wert von t geht die Tangente in B an den Graphen von [mm] f_{t} [/mm] durch C(0/-8)?
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Hallo Zusammen,
bei der Aufgabe b) (siehe Augabenstellung) dieser Frage kommt laut Lösungsbuch raus: 2t²x-4t³; [mm] t=\wurzel[3]{2}
[/mm]
Woher kommt man denn auf diese Gleichung?
Danke im Voraus.
matherein
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Hallo matherein,
> Für jedes t [mm]\in \IR+[/mm] geht der Graph einer ganzrationalen
> Funktion [mm]f_{t}[/mm] dritten Grades durch die Punkte O(0/0),
> A(t/0) und B(2t/0); im Ursprung hat der Graph eine Tangente
> mit der Steigung 2t², der Punkt A ist Wendepunkt.
> b)Für welchen Wert von t geht die Tangente in B an den
> Graphen von [mm]f_{t}[/mm] durch C(0/-8)?
>
> Hallo Zusammen,
>
> bei der Aufgabe b) (siehe Augabenstellung) dieser Frage
> kommt laut Lösungsbuch raus: 2t²x-4t³; [mm]t=\wurzel[3]{2}[/mm]
>
> Woher kommt man denn auf diese Gleichung?
Stelle die Tangentengleichung gemäß diesem Artikel auf,
und löse sie für [mm]x=0, y=-8[/mm]
>
> Danke im Voraus.
> matherein
Gruß
MathePower
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| Aufgabe | Für jedes t [mm]\in \IR+[/mm] geht der Graph einer ganzrationalen
> Funktion [mm]f_{t}[/mm] dritten Grades durch die Punkte O(0/0),
> A(t/0) und B(2t/0); im Ursprung hat der Graph eine Tangente
> mit der Steigung 2t², der Punkt A ist Wendepunkt.
> a)Ermitteln Sie [mm] f_{t}(x).
[/mm]
> b)Für welchen Wert von t geht die Tangente in B an den
> Graphen von [mm]f_{t}[/mm] durch C(0/-8)? |
Hallo MathePower,
die Tangentengleichung hatte ich doch schon in a) rausbekommen. Und zwar mit der Formel a(x-0)(x-t)(x-2t)
a(x³-3tx²+2t²x)
a = 1 , Das liefert [mm] f_{t}(x) [/mm] = x³-3tx²+2t²x
Wenn ich diese Tangentengleichung laut deinem Artikel aufstelle, kommt raus:
[mm] f_{0}'(x) [/mm] = 3x²-6tx+2t² f'(0) = 2t²
y= 2t²(x-0)+0
Wo habe ich falsch gerechnet?
Gruß
matherein
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Gallo matherein,
> Für jedes t [mm]\in \IR+[/mm] geht der Graph einer ganzrationalen
> > Funktion [mm]f_{t}[/mm] dritten Grades durch die Punkte O(0/0),
> > A(t/0) und B(2t/0); im Ursprung hat der Graph eine
> Tangente
> > mit der Steigung 2t², der Punkt A ist Wendepunkt.
> > a)Ermitteln Sie [mm]f_{t}(x).[/mm]
> > b)Für welchen Wert von t geht die Tangente in B an den
> > Graphen von [mm]f_{t}[/mm] durch C(0/-8)?
> Hallo MathePower,
>
> die Tangentengleichung hatte ich doch schon in a)
> rausbekommen. Und zwar mit der Formel a(x-0)(x-t)(x-2t)
> a(x³-3tx²+2t²x)
> a = 1 , Das liefert [mm]f_{t}(x)[/mm] = x³-3tx²+2t²x
>
> Wenn ich diese Tangentengleichung laut deinem Artikel
> aufstelle, kommt raus:
> [mm]f_{0}'(x)[/mm] = 3x²-6tx+2t² f'(0) = 2t²
> y= 2t²(x-0)+0
Die Tangente in B hat zufälig dieselbe Steigung,
wie die Tangente im Ursprung.
Nun, die Tangente an B ist gesucht:
Diese lautet: [mm]y=2t^{2}*\left(x-\red{2t}\right)+0[/mm]
> Wo habe ich falsch gerechnet?
>
> Gruß
> matherein
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Di 12.05.2009 | | Autor: | matherein |
Hallo MathePower,
jetzt verstehe ich deine Antwort erst. Ich habe nämlich anstatt der 2t die 0 für das [mm] x_{p} [/mm] eingesetzt, um die Tangente in B zu bekommen.
Und dann konnte ich auch in diese Tangentengleichung den Punkt C(0/-8) einsetzten, was zu dem gesuchten Wert von t, nämlich t = [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] geführt hat.
Vielen Dank für die freundliche Hilfe.
matherein
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