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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 So 25.05.2008 | | Autor: | mella90 |
| Aufgabe | Von einer Ware werden x Stücke hergestellt. Die Kosten K hierfür werden nährungsweise durch K(x) = 0.01 x³ - 0,9 x² + 40 x + 100 beschrieben.
a) Untersuche die Funktion.
b) Die durchschnittlichen Kosten pro Stück werden durch St(x) = [K(x)] / x beschrieben. Untersuche die Funktion St. Deute die Monotoniebereiche und die Extrema der Funktion St mit Hilfe wirtschaftlicher Begriffe.
c) Zeige: Liegt das Minimum von St an der Stelle x0, so verläuft die Tangente an den Graphen von K an dieser Stelle durch den Koordinatenursprung.
Deute dieses Ergebnis entsprechend zu b).
Anleitung: Beachte, dass die Steigung jeder Geraden durch den Punkt O(0/0) und einen Punkt des Graphen von K die Stückkosten angibt. |
Wir schreiben morgen eine Arbeit und ich brauche Hilfe zu dieser Aufgabe.
Bei a) soll man ja, denk ich mal, die ganz normale Kurvendiskussion machen.
Aber wie geht das bei b weiter? Wie kann ich da die Funktion beschreiben, die nur Variablen beinhaltet?
Und die c) verstehe ich garnicht :/
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Bei den wirtschaftlichen Begriffen kann ich dir nicht helfen (das werdet ihr ja im Unterricht gehabt haben), bei den sonstigen Fragen schon:
> Bei a) soll man ja, denk ich mal, die ganz normale
> Kurvendiskussion machen.
Denke ich auch ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Aber wie geht das bei b weiter? Wie kann ich da die
> Funktion beschreiben, die nur Variablen beinhaltet?
Verstehe deine Frage nicht. Die Funktion St(x) ist doch beschrieben als [mm]St(x) := \bruch{K(x)}{x} = \bruch{0.01x^{3}-0.9x^{2}+40x+100}{x}.[/mm]
Du hast nun also eine gebrochenrationale Funktion zu untersuchen. Du musst bei dieser zur Beantwortung die Monotoniebereiche mit Hilfe der Extrema bestimmen. Also:
1. Bestimme die Extremstellen der gebrochenrationalen Funktion St(x). Es gibt ein Minimum für positive x. (Siehe nachfolgendes Bild):
[Dateianhang nicht öffentlich]
2. Die Intervalle zwischen den Extremstellen (Siehe Bild) sollst du nun deuten. Wenn die Funktion steigt, heißt das also dass die Kosten pro Stück steigen (Siehe Funktionsdefinition St(x)), wenn die Funktion fällt, heißt das dass die Kosten pro Stück sinken.
Ein lokales Maximum bedeutet ein Preismaximum pro Stück, ein lokales Minimum ein Preisminimum pro Stück.
3.
Zunächst solltest du dir klarmachen, dass K(x) und St(x) zwei (von ihrem Graphen her) völlig verschiedene Funktionen sind. K(x) gibt praktisch die Kosten für alle Stücke x zusammen an, St(x) nur die durchschnittlichen Kosten eines Stücks, wenn man x Stücke herstellt.
Der erste Teil der Aufgabenstellung verlangt nun von dir folgendes:
> c) Zeige: Liegt das Minimum von St an der Stelle x0, so verläuft die Tangente an den Graphen von K an dieser Stelle durch den Koordinatenursprung.
Deine Stelle [mm] x_{0} [/mm] kennst du, denn du hast in b) das Minimum von St(x) berechnet. Du sollst nun zeigen, dass die Funktion [mm]K(x) = 0.01x^{3}-0.9x^{2}+40x+100[/mm] an dieser Stelle [mm] x_{0} [/mm] eine Tangente hat, die durch (0,0) geht. Du musst also folgendermaßen vorgehen:
1.) Stelle [mm] x_{0} [/mm] aus b) "holen".
2.) Ableitung von K(x) bilden.
3.) Steigung der Tangente von K(x) an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] bestimmen, sprich [mm] K'(x_{0}) [/mm] berechnen.
4.) Die allgemeine Tangentengleichung lautet y = mx+n. m ist dir nun schon bekannt, das hast du in 3.) mit [mm] K'(x_{0}) [/mm] berechnet. Du weißt nun noch, dass die Tangente durch den Punkt [mm] (x_{0}|K(x_{0})) [/mm] geht, denn schließlich soll die Tangente ja auf der Funktion K(x) liegen. Du kennst also einen Wert x, wo du weißt was die Tangente für einen Wert liefern muss: Wenn ich [mm] x_{0} [/mm] in die Tangente einsetze, soll gefälligst [mm] K(x_{0}) [/mm] rauskommen weil sonst die Tangente nicht auf der Funktion [mm] K(x_{0}) [/mm] liegt. Es ergibt sich folgende Gleichung:
[mm] K(x_{0}) [/mm] = [mm] m*(x_{0}) [/mm] + n
m ist dir bekannt, stelle nach n um. Es müsste n = 0 herauskommen, denn genau dann geht die Tangente durch den Ursprung.
Die Interpretation sollten wir erst angehen, wenn du das alles ausgerechnet hast.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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