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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Caprice |
| Aufgabe | Gegeben sind Tabellen mit x- und y-Werten.
1.Tabelle: m -> sek
2.Tabelle: Jahr -> Anzahl
Aufgabe zu Tab.1: Wie lautet die Funktionsvorschrift einer Potenzfunktion, die sich diesen Werten annähert?
Aufgabe zu Tab. 2: Wie lautet die Funktionsgleichung, die das exponentielle Wachstum beschreibt? |
Wie kann ich anhand solcher Werte die Funktionsvorschrift einer Potenzfunktion (Tabelle 1) und einer Exponentialfunktion (Tabelle 2) bestimmen?
Im Grunde dürfte es doch nur Einsetzen in die jeweilige Grundformel sein?
Also im Falle der Potenzfunktion z.B. [mm] a*x^n [/mm] . Muss ich vorher nicht erst einen Faktor bestimmen oder gibt es sogar noch eine Konstante c? Welcher Wert ist wo einzusetzen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Mo 22.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Generell kannst du aus einer Wertetabelle Punkte ablesen. Diese haben ja einen x-Wert und einen y-Wert, der auch Funktionswert f(x) ist.. Der x-Wert ist der Wert, der den y-Wert zugeordnet wird, also in deinem ersten Beispiel m (der ja dem y-Wert in Sek) zugeordnet wird.
Das heisst du hast einige Wertepaare, nennen wir die Anzahl mal n
[mm] P_{1}(x_{1}/f(x_{1}))
[/mm]
[mm] P_{2}(x_{1}/f(x_{2}))
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] P_{n}(x_{n}/f(x_{n}))
[/mm]
Wieviele du brauchst, um die Gesuchte Funktion zu bestimmen, hängt davon ab, was für ein Funktionstyp du hast.
Bei einer Potenzfunktion [mm] f(x)=c*x^{a} [/mm] hast du ja c und a zu bestimmen, also zwei Variablen, also brauhst du nur zwei Punkte.
Hättest du noch eine Verschiebung b dabei, also [mm] f(x)=b+c*a^{a} [/mm] brauchst du schon drei Punkte.
Bei einer Geraden f(x)=mx+n brauchst du zwei Punkte, bei einer Parabel f(x)=ax²+bx+c dementsprechend drei.
Was bei allen Funktionstypen identisch ist, ist die Tatsache, dass du aus den Punkten die x-Koordinate für x und die y-Koordinate für f(x) einsetzt, und damit dann zwei/drei... Gleichungen bekommst, aus denen du dann die Parameter bestimmen musst.
BSP:
[mm] f(x)=c*x^{a}
[/mm]
[mm] P_{1}(1/2) P_{2}(2/8)
[/mm]
Dann gilt: [mm] 2=c*1^{a} (P_{1}) [/mm] und [mm] 8=c*4^{a} (P_{2})
[/mm]
Damit ergibt sich folgendes GLS:
[mm] \vmat{2=c*1^{a}\\8=c*2^{a}}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{2=c\\8=c*2^{a}}
[/mm]
Jetzt mal c=2 in [mm] 8=\red{2}*2^{a} [/mm] einsetzen:
[mm] \Rightarrow 4=2^{a} \Rightatrrow2=a.
[/mm]
Also hast du a=2 und c=2, und somit ergibt sich [mm] f(x)=c*x^{a}=2*x²
[/mm]
Nehmen wir als zweites Beispiel mal eine Gerade durch dieselben Punkte
f(x)=mx+n
[mm] P_{1}(1/2) P_{2}(2/8)
[/mm]
Dann gilt: 2=m*1+n [mm] (P_{1}) [/mm] und 8=m*2+n [mm] (P_{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vmat{2=m+n\\8=2m+n}
[/mm]
[mm] \stackrel{GL1-GL2}{\gdw}\vmat{2=m+n\\-6=-m}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] m=6, n=-4
Also: f(x)=6x-4
Hilft das erstmal weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Caprice |
Zumindest weiß ich, dass mein Gedankengang nicht ganz so abwegig war :)
Das momentane Problem, dass sich mir stellt, ist, dass die Funktion nur näherungsweise durch eine Potenzfunktion beschrieben werden kann, da nicht alle Wertepaare auf dieser liegen und es dementsprechend Streupunkte gibt. Wenn ich das Gleichsetzungsverfahren benutze, würde ich ja nur für die zwei eingesetzten Wertepaare die entsprechende Funktion bekommen. Sollte ich eins dieser Wertepaare mit einen der anderen aus der Tabelle gleichsetzen, würde die Funktionsvorschrift wieder anders lauten.
Mein Ansatzpunkt war jetzt einen Faktor zu finden, der alle Wertepaare annähernd beschreibt (z.B. alle sek Zeiten für 100m berechnen und davon das Mittelmaß bilden) und das dann einsetzen. Aber dann stellt sich mir die Frage, wo ich es in die Potenzfunktion einsetzen müsste und wie das weitere Vorgehen wäre?
Ich habe z.B. 100m -> 9 ,74 sek ; 200m -> 19,32 sek ; 400m -> 43,18 sek;.....
Der berechnete Faktor würde in diesem Fall - ausgehend von 100m - 10,065 sek lauten. Aber bringt mich das dann wirklich weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Caprice |
Ok, gut zu wissen, womit man es zutun hat :) Stellt sich nur noch die Frage, wie man die Gerade berechnen muss, aber das sollte jetzt nicht mehr das Problem sein.
Danke für die Hilfe!
Mareike
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Regressionsanalyse