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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - GDGL lösen
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GDGL lösen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:33 Sa 12.04.2014
Autor: Genius1404

Aufgabe
(1 + [mm] e^{x}) [/mm] * u * u' = [mm] e^{x} [/mm] (x > 1)
u(1)=-1

Hallo :-) Habe folgendes gemacht, aber es kommt nicht das passende raus..bitte um Korrektur.

Ich habe das erstmal umgestellt..(Nullfkt erstmal ausschließen)

u' =  [mm] \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} [/mm] * [mm] \frac{1}{u} [/mm]

Also f(x) = [mm] \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} [/mm] und g(u) = [mm] \frac{1}{u} [/mm]

Beide Funktionen sind stetig und g ist nie 0..

Dann ist F(x) = [mm] \integral_{1}^{x}{f(t) dt} [/mm] = ... = [mm] ln(1+e^{x}) [/mm] - ln(1+e)

G(u) = [mm] \integral_{-1}^{u}{\frac{1}{g(y)} dy} [/mm] = ... = 0,5 [mm] u^{2} [/mm] - 0,5

Dann brauche ich doch die umkehrfunktion von G, also H, das wäre bei mir
[mm] \wurzel{2x+1} [/mm]

Aber das kommt nicht hin..bei mir wäre das AWP nicht erfüllt..wo ist der Fehler..

danke sehr :) LG



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
GDGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:50 Sa 12.04.2014
Autor: hippias

Das sieht alles gut aus, aber was machst Du denn nun mit $G$ bzw. $H$? Du musst es doch noch in Beziehung zu $F$ setzen.

Uebrigens: wenn $u$ Lsg des AWPs ist, dann ist ohne weitere Voraussetzungen [mm] $u\neq [/mm] 0$.

Bezug
                
Bezug
GDGL lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:44 Sa 12.04.2014
Autor: Genius1404

Hallo und danke schonmal :-)

Ja, es muss für die Lösung , etwa [mm] \lambda, [/mm] gelten:

[mm] \lambda(x) [/mm] = H(F(x))

Aber wenn ich das so mache und hinterher ne Probe mit dem Anfangswert mache, kommt da 1 und nicht -1 raus :(

Kannst du oder irgendjemand mir zeigen wie es weitergeht....

Bezug
                        
Bezug
GDGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 Sa 12.04.2014
Autor: leduart

Hallo
du musst soch haben
[mm] u=\sqrt{2*ln(1+e^x)+1-2ln(1+e)} [/mm]
und die Wurzel hat 2 mögliche Vorzeichen. für u<0 also das negative.
seine endgültige Lösung ist also
[mm] u(x)=-\sqrt{2*ln(1+e^x)+1-2ln(1+e)} [/mm]

Bezug
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