GL(n;IR) in Mat(nxn;IR) offen? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Di 19.12.2006 | | Autor: | Levy |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand den beweis zeigen
für den satz: [mm] GL(n;\IR)\subseteqMat(n\timesn;\IR) [/mm] offen
Ich habe ja mal gehört, dass die geometrische reihe dazu
ganz nützlich sein soll, aber wie man das dann genau in
tat umsetzt ist mir schleierhaft.
vielen lieben dank im voraus
ich suchte schon vergebens nach einer antwort
ihr seid meine letzte hoffnung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Di 19.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Levy
Es geht auch anders und viel einfacher.
Die Determinantenfunktion ist eine stetige Funktion von [mm] $\mathrm{GL}(n;\IR)\to\IR$. [/mm] Dann sind Urbilder von offenen Mengen offen. In [mm] $\IR$ [/mm] ist die Menge [mm] $\IR\smallsetminus\{0\}$ [/mm] eine offene Menge, und eine Matrix, ist genau dann regulär, wenn ihre Determinante nicht 0 ist.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Do 21.12.2006 | | Autor: | Levy |
Dieser beweis it mir bereits bekannt.
Nichts desto trotz: vielen herzlichen dank mahoudi.
mich lässt aber die andere methode den satz zu beweisen nicht schlafen :D
mein prof hats nämlich in der vorlesung nciht bewiese ich habe aber ein mulmiges gefühl in die diplomvorprüfung zu gehen und diesen beweis nicht zu kennen :D
gruss levy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Do 21.12.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Levy
Vielleicht funktioniert es so:
Ich glaube, wenn die Norm von einer Matrix A klein ist (kleiner als 1?), dann
konvergiert folgende Reihe für Matrizen(!):
[mm] $1+A+A^2+A^3+A^4+\dots$ [/mm] und es gilt natürlich
[mm] $(1-A)(1+A+A^2+A^3+A^4+\dots)=1$, [/mm] die Reihe definiert also die Inverse Matrix von $1-A$.
Sei jetzt B eine reguläre Matrix, es ist zu zeigen, dass Matrizen "nahe bei B" ebenfalls regulär sind.
Sei C eine Matrix in der "Nähe von B".
Wenn die Norm von B-C klein genug ist, dann ist die Norm von [mm] $A=(B-C)B^{-1}$ [/mm] immer noch klein und
die Reihe [mm] $1+A+A^2+\dots [/mm] $ konvergiert, daher ist 1-A invertierbar. Daher ist (1-A)B immer noch regulär und es gilt
[mm] $(1-A)B=(1-(B-C)B^{-1})B=B-(B-C)B^{-1}B=B-(B-C)=C$.
[/mm]
mfG Moudi
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