GLeichgewichtspunkte < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Sa 16.01.2010 | | Autor: | cmueller |
Hallo,
ich habe folgendes inhomogenes System von DGLn:
[mm] \vec{m'}(t)=\pmat{ 1-k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1-k_{4}-k_{2} & k_{3} \\ 0 & k_{2} & 1-k_{3} } \vec{m}(t) [/mm] + [mm] \vektor{\epsilon \\ 0 \\ 0}
[/mm]
davon soll ich jetzt die gleichgewichtspunkte bestimmen.
so, nachdem ich in 1000 büchern nachgeschaut habe ;), weiß ich, dass ich irwas mit nullstellenberechnung machen muss...glaube ich zumindest zu wissen^^
habe mir bei einigen aufgaben die lösungen zur berechnung der stationären Punkte angeschaut, aber häufig wird einfach gesagt: ...sind die gleichgewidhtspunkte.
kann mir bitte jemand einen hinweis darauf geben, wie die berechnet werden?
vielen Dank!!
cmueller
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Hallo cmueller,
> Hallo,
> ich habe folgendes inhomogenes System von DGLn:
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> [mm]\vec{m'}(t)=\pmat{ 1-k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1-k_{4}-k_{2} & k_{3} \\ 0 & k_{2} & 1-k_{3} } \vec{m}(t)[/mm]
> + [mm]\vektor{\epsilon \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> davon soll ich jetzt die gleichgewichtspunkte bestimmen.
> so, nachdem ich in 1000 büchern nachgeschaut habe ;),
> weiß ich, dass ich irwas mit nullstellenberechnung machen
> muss...glaube ich zumindest zu wissen^^
> habe mir bei einigen aufgaben die lösungen zur berechnung
> der stationären Punkte angeschaut, aber häufig wird
> einfach gesagt: ...sind die gleichgewidhtspunkte.
> kann mir bitte jemand einen hinweis darauf geben, wie die
> berechnet werden?
Hier ist folgendes System zu lösen:
[mm]\pmat{ 1-k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1-k_{4}-k_{2} & k_{3} \\ 0 & k_{2} & 1-k_{3} } \vec{m}(t)+\pmat{\epsilon \\ 0 \\ 0}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
mit
[mm]\vec{m}(t)=\pmat{m_{1}\left(t\right) \\ m_{2}\left(t\right) \\ m_{3}\left(t\right)}[/mm]
Dann bekommst Du Lösungen für [mm]m_{1}\left(t\right), \ m_{2}\left(t\right), \ m_{3}\left(t\right)[/mm]
> vielen Dank!!
>
> cmueller
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 Sa 16.01.2010 | | Autor: | cmueller |
Hallo MathePower,
danke für die schnelle Antwort
>
> Hier ist folgendes System zu lösen:
>
> [mm]\pmat{ 1-k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1-k_{4}-k_{2} & k_{3} \\ 0 & k_{2} & 1-k_{3} } \vec{m}(t)+\pmat{\epsilon \\ 0 \\ 0}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]\vec{m}(t)=\pmat{m_{1}\left(t\right) \\ m_{2}\left(t\right) \\ m_{3}\left(t\right)}[/mm]
>
> Dann bekommst Du Lösungen für [mm]m_{1}\left(t\right), \ m_{2}\left(t\right), \ m_{3}\left(t\right)[/mm]
>
>
ok das ist klar, dann hab ich für [mm]m_{1}\left(t\right), \ m_{2}\left(t\right), \ m_{3}\left(t\right)[/mm] Lösungen und wenn ich das einsetze bekomme ich null raus und in dem punkt hab ich einen gleichgewichtspunkt.
stimmt das so?
problem ist:
[mm] m_{1} [/mm] (t) rauszukriegen ist klar, da kommt man ja ganz leicht auf [mm] m_{1}(t)=\bruch{- \epsilon}{1-k_{1}}
[/mm]
versuche ich mich also in dem rest, habe also eine 2x2 matrix = 0
ich komme hier auf [mm] m_{2}(t) [/mm] und [mm] m_{3}(t) [/mm] =0
also ich meine, ich hab ja nix dagegen^^
aber kann das sein? oder was hab ich übersehen?
angenommen das stimmt, gibt es also nur einen gleichgewichtspunkt
[mm] m_{g}(t)=\vektor{\bruch{- \epsilon}{1-k_{1}} \\ 0\\ 0}aber [/mm] der hängt doch kein stück von t ab...also muss ich doch irwas falsch gemacht haben...
> > vielen Dank!!
> >
> > cmueller
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo cmueller,
> Hallo MathePower,
> danke für die schnelle Antwort
> >
> > Hier ist folgendes System zu lösen:
> >
> > [mm]\pmat{ 1-k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 1-k_{4}-k_{2} & k_{3} \\ 0 & k_{2} & 1-k_{3} } \vec{m}(t)+\pmat{\epsilon \\ 0 \\ 0}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> >
> > mit
> >
> > [mm]\vec{m}(t)=\pmat{m_{1}\left(t\right) \\ m_{2}\left(t\right) \\ m_{3}\left(t\right)}[/mm]
>
> >
> > Dann bekommst Du Lösungen für [mm]m_{1}\left(t\right), \ m_{2}\left(t\right), \ m_{3}\left(t\right)[/mm]
>
> >
> >
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> ok das ist klar, dann hab ich für [mm]m_{1}\left(t\right), \ m_{2}\left(t\right), \ m_{3}\left(t\right)[/mm]
> Lösungen und wenn ich das einsetze bekomme ich null raus
> und in dem punkt hab ich einen gleichgewichtspunkt.
> stimmt das so?
Ja.
>
> problem ist:
> [mm]m_{1}[/mm] (t) rauszukriegen ist klar, da kommt man ja ganz
> leicht auf [mm]m_{1}(t)=\bruch{- \epsilon}{1-k_{1}}[/mm]
Das ist richtig für [mm]k_{1} \not=1[/mm].
> versuche
> ich mich also in dem rest, habe also eine 2x2 matrix = 0
> ich komme hier auf [mm]m_{2}(t)[/mm] und [mm]m_{3}(t)[/mm] =0
> also ich meine, ich hab ja nix dagegen^^
> aber kann das sein? oder was hab ich übersehen?
>
> angenommen das stimmt, gibt es also nur einen
> gleichgewichtspunkt
> [mm]m_{g}(t)=\vektor{\bruch{- \epsilon}{1-k_{1}} \\ 0\\ 0}aber[/mm]
> der hängt doch kein stück von t ab...also muss ich doch
> irwas falsch gemacht haben...
Wenn die Elemente in der Matrix von t abhängen,
dann bekommst Du in der Regel eine Lösungsfunktion,
die auch von t abhängt.
Da die Matrix nicht von t abhängt,
bekommst Du hier konstante Lösungen heraus.
Außerdem sind die Lösungen abhängig von [mm]k_{i}, \ i=1,2,3,4[/mm].
>
> > > vielen Dank!!
> > >
> > > cmueller
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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