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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Floyd |
Hallo!
Ich hätte eine Frage zu folgendem Optimierungsproblem:
[mm] F=\summe_{k=1}^{n}(I_0(x_0)-I_k(x_k))^2 \to [/mm] min
wobei [mm] I_k: \IR^2 \to \IR [/mm] (nicht stetig)
[mm] x_k \in \IR^2 [/mm] mit [mm] x_k [/mm] = [mm] \vektor{m1 \\ m2} [/mm] + [mm] \pmat{ cos(\alpha_k) & -sin(\alpha_k) \\ sin(\alpha_k) & cos(\alpha_k) }*(x_0-\vektor{m1 \\ m2})
[/mm]
und m1 und m2 sind gegeben.
Ich hab nun versucht F mittels Gauss-Newton-Verfahren zu minimieren, wobei ich eine Taylor Entwicklung verwendet habe um [mm] I_k [/mm] zu linearisieren (nach dem linearen Term wurde die Taylor Entwicklung abgebrochen).
Startlösung ist [mm] \alpha^0.
[/mm]
[mm] x_k^0 [/mm] = [mm] x_k(\alpha_k^0).
[/mm]
Taylor:
[mm] I_k(x_k)=I_k(x_k^0)+\summe_{l=1}^{m}(\bruch{dI_k(x_k)}{d\alpha_l})_{\alpha=\alpha^0}(\alpha_l-\alpha_l^0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow F=\summe_{k=1}^{n}(I_0(x_0)-I_k(x_k^0)-\summe_{l=1}^{m}(\bruch{dI_k(x_k)}{d\alpha_l})_{\alpha=\alpha^0}(\alpha_l-\alpha_l^0))^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{dF}{d\alpha_i}=2*\summe_{k=1}^{n}(I_0(x_0)-I_k(x_k^0)-\summe_{l=1}^{m}(\bruch{dI_k(x_k)}{d\alpha_l})_{\alpha=\alpha^0}(\alpha_l-\alpha_l^0))*(\bruch{dI_k(x_k)}{d\alpha_i})_{\alpha=\alpha^0}
[/mm]
wobei [mm] \bruch{dI_i(x_i)}{d\alpha_j}=\bruch{dI_i}{dx}\bruch{dx}{d\alpha_j}+\bruch{dI_i}{dy}\bruch{dy}{d\alpha_j}=\bruch{dI_i}{dx}<-\vektor{sin(\alpha_j) \\ cos(\alpha_j)},x_0-\vektor{m1 \\ m2}>+\bruch{dI_i}{dy}<\vektor{cos(\alpha_j) \\ -sin(\alpha_j)},\vektor{m1 \\ m2}>
[/mm]
Danach hab ich ein GLS erzeugt
[mm] A*(\alpha-\alpha^0)=\beta
[/mm]
dieses gelöst und damit [mm] \alpha^0 [/mm] 'verbessert'.
[mm] \alpha-\alpha^0=\Delta\alpha
[/mm]
[mm] \alpha^1 [/mm] = [mm] \alpha^0 [/mm] + [mm] \Delta\alpha
[/mm]
Dann hab ich [mm] \alpha^1 [/mm] als Startlösung verwendet .. usw.
Meine Frage wäre nun (da nicht das erwünschte Ergebnis berechnet wird): Was mach ich falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Besten Dank im Voraus!
Mfg Floyd
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Hallo Floyd,
> Hallo!
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> Ich hätte eine Frage zu folgendem Optimierungsproblem:
>
> [mm]F=\summe_{k=1}^{n}(I_0(x_0)-I_k(x_k))^2 \to[/mm] min
>
> wobei [mm]I_k: \IR^2 \to \IR[/mm] (nicht stetig)
> [mm]x_k \in \IR^2[/mm] mit [mm]x_k[/mm] = [mm]\vektor{m1 \\ m2}[/mm] + [mm]\pmat{ cos(\alpha_k) & -sin(\alpha_k) \\ sin(\alpha_k) & cos(\alpha_k) }*(x_0-\vektor{m1 \\ m2})[/mm]
>
> und m1 und m2 sind gegeben.
>
> Ich hab nun versucht F mittels Gauss-Newton-Verfahren zu
> minimieren, wobei ich eine Taylor Entwicklung verwendet
> habe um [mm]I_k[/mm] zu linearisieren (nach dem linearen Term wurde
> die Taylor Entwicklung abgebrochen).
>
> Startlösung ist [mm]\alpha^0.[/mm]
> [mm]x_k^0[/mm] = [mm]x_k(\alpha_k^0).[/mm]
>
> Taylor:
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> [mm]I_k(x_k)=I_k(x_k^0)+\summe_{l=1}^{m}(\bruch{dI_k(x_k)}{d\alpha_l})_{\alpha=\alpha^0}(\alpha_l-\alpha_l^0)[/mm]
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> [mm]\Rightarrow F=\summe_{k=1}^{n}(I_0(x_0)-I_k(x_k^0)-\summe_{l=1}^{m}(\bruch{dI_k(x_k)}{d\alpha_l})_{\alpha=\alpha^0}(\alpha_l-\alpha_l^0))^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{dF}{d\alpha_i}=2*\summe_{k=1}^{n}(I_0(x_0)-I_k(x_k^0)-\summe_{l=1}^{m}(\bruch{dI_k(x_k)}{d\alpha_l})_{\alpha=\alpha^0}(\alpha_l-\alpha_l^0))*(\bruch{dI_k(x_k)}{d\alpha_i})_{\alpha=\alpha^0}[/mm]
>
> wobei
> [mm]\bruch{dI_i(x_i)}{d\alpha_j}=\bruch{dI_i}{dx}\bruch{dx}{d\alpha_j}+\bruch{dI_i}{dy}\bruch{dy}{d\alpha_j}=\bruch{dI_i}{dx}<-\vektor{sin(\alpha_j) \\ cos(\alpha_j)},x_0-\vektor{m1 \\ m2}>+\bruch{dI_i}{dy}<\vektor{cos(\alpha_j) \\ -sin(\alpha_j)},\vektor{m1 \\ m2}>[/mm]
>
> Danach hab ich ein GLS erzeugt
> [mm]A*(\alpha-\alpha^0)=\beta[/mm]
> dieses gelöst und damit [mm]\alpha^0[/mm] 'verbessert'.
> [mm]\alpha-\alpha^0=\Delta\alpha[/mm]
> [mm]\alpha^1[/mm] = [mm]\alpha^0[/mm] + [mm]\Delta\alpha[/mm]
> Dann hab ich [mm]\alpha^1[/mm] als Startlösung verwendet .. usw.
>
> Meine Frage wäre nun (da nicht das erwünschte Ergebnis
> berechnet wird): Was mach ich falsch?
Hier wurde zuerst F linearisiert und dann die Ableitung gebildet.
Da das ein Optimierungsproblem ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
[mm]\bruch{\partial }{\partial \alpha_{i}}\left( \ \summe_{k=1}^{n}(I_0(x_0)-I_k(x_k))^2 \ \right)=0, \ i=1 \ ... \ n[/mm]
Um eine Lösung zu finden, werden jetzt die Funktionen
[mm]\bruch{\partial }{\partial \alpha_{i}}\left( \ \summe_{k=1}^{n}(I_0(x_0)-I_k(x_k))^2 \ \right)[/mm]
linearisiert.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Besten Dank im Voraus!
> Mfg Floyd
>
Gruß
MathePower
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