Galois-Abschluss < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Sa 24.03.2012 | | Autor: | tau |
Hallo.
Was versteht man unter einem Galoisschen Abschluss?
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Bringst du da nicht die Begriffe durch einander?
Galoische KE und algebraischer Abschluss. Ersteres muss eine normale und separable Körpererweiterung sein und letzteres ist ein Erweiterungskörper mit gewissen Eigenschaften.
Gruß
wieschoo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 So 25.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Was versteht man unter einem Galoisschen Abschluss?
Der galoissche Abschluss einer (algebraischen und separablen) Koerpererweiterung $L/K$ ist eine separable Koerpererweiterung $E/L$, so dass $E/K$ galoisch ist und $L/K$ minimal bezueglich dieser Eigenschaft ist.
Ist also $L/K$ bereits galoissch, so ist $E = L$.
Ist $L/K$ nicht galoissch (aber separabel!), so kannst du $E$ wie folgt konstruieren: ist [mm] $\overline{L}$ [/mm] ein algebraischer Abschluss von $L$, und sind [mm] $\sigma_i [/mm] : L [mm] \to \overline{L}$, [/mm] $i [mm] \in [/mm] I$ alle $K$-Homomorphismen von $L$ in [mm] $\overline{L}$, [/mm] so ist $E$ gerade das Kompositum aller [mm] $\sigma_i(L)$, [/mm] $i [mm] \in [/mm] I$, also der kleinste Unterkoerper von [mm] $\overline{L}$, [/mm] welcher alle [mm] $\sigma_i(L)$, [/mm] $i [mm] \in [/mm] I$ enthaelt.
Ist [mm] $\overline{L}$ [/mm] fest gewaehlt, so ist der Galoissche Abschluss von $L/K$ als Unterkoerper von [mm] $\overline{L}$ [/mm] eindeutig. (Andernfalls ist er bis auf Isomorphie eindeutig.)
Der Galoissche Abschluss entspricht uebrigens dem normalen Abschluss einer Koerpererweiterung, mit dem Unterschied dass der normale Abschluss auch fuer nicht-separable Erweiterungen definiert ist.
LG Felix
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