Galois-Erweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Sa 03.05.2014 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie:
Für alle 1 < n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] \IF_{p^{n}} [/mm] eine Galois-Erweiterung von [mm] \IF_{p} [/mm] |
Hallo,
versuche die Aufgabe folgendermaßen anzugehen:
[mm] \IF_{p^{n}} [/mm] ist eine Galois-Erweiterung von [mm] \IF_{p} [/mm] genau dann, wenn die Körpererweiterung endlich, normal und seperabel ist.
Das eine endliche Körpererweiterung vorliegt ist klar.
Normal und seperabel ist da ein bisschen schwieriger.
Bzgl. normal habe ich versucht, allgemein ein irred. Polynom f(x) [mm] \in \IF_{p}[x] [/mm] anzugeben, wobei [mm] \IF_{p^{n}} [/mm] der Zerfällungskörper ist.
Ich habe gelesen, dass [mm] f(x)=x^{p^{n}} [/mm] - x [mm] \in \IF_{p}[x] [/mm] ein irreduzibles Polynom ist, mit Zerfällungskörper [mm] \IF_{p^{n}}[x]. [/mm] Dann habe ich das mal beispielhaft durchgespielt mit der Körpererweiterung [mm] \IF_{4}: \IF_{2}
[/mm]
[mm] f(x)=x^{4}-x
[/mm]
Nullstellen in [mm] \IF_{4}:
[/mm]
0, klar
1, klar
2: [mm] f(2)=2^{4}-2=-2=2 \not= [/mm] 0
Also bei diesem Beispiel würde das doch schonmal nicht stimmen oder?
LG,
DrRiese 
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Hallo,
> Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie:
>
> Für alle 1 < n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm]\IF_{p^{n}}[/mm] eine
> Galois-Erweiterung von [mm]\IF_{p}[/mm]
> Hallo,
>
> versuche die Aufgabe folgendermaßen anzugehen:
>
> [mm]\IF_{p^{n}}[/mm] ist eine Galois-Erweiterung von [mm]\IF_{p}[/mm] genau
> dann, wenn die Körpererweiterung endlich, normal und
> seperabel ist.
Algebraisch, nicht endlich. (Außer eure Galoiserweiterung sind alle endliche Galoiserweiterungen)
> Das eine endliche Körpererweiterung vorliegt ist klar.
> Normal und seperabel ist da ein bisschen schwieriger.
> Bzgl. normal habe ich versucht, allgemein ein irred.
> Polynom f(x) [mm]\in \IF_{p}[x][/mm] anzugeben, wobei [mm]\IF_{p^{n}}[/mm]
> der Zerfällungskörper ist.
Es genügt ein Polynom zu finden, es muss nicht irred. sein.
> Ich habe gelesen, dass [mm]f(x)=x^{p^{n}}[/mm] - x [mm]\in \IF_{p}[x][/mm]
> ein irreduzibles Polynom ist, mit Zerfällungskörper
> [mm]\IF_{p^{n}}[x].[/mm]
Das Polynom ist reduzibel über jedem Körper.
Es ist allerdings hier das richtige Polynom
> Dann habe ich das mal beispielhaft
> durchgespielt mit der Körpererweiterung [mm]\IF_{4}: \IF_{2}[/mm]
>
> [mm]f(x)=x^{4}-x[/mm]
> Nullstellen in [mm]\IF_{4}:[/mm]
> 0, klar
> 1, klar
> 2: [mm]f(2)=2^{4}-2=-2=2 \not=[/mm] 0
> Also bei diesem Beispiel würde das doch schonmal nicht
> stimmen oder?
$$2=0 [mm] \in \mathbb F_2^{n}$$ [/mm] für jedes n. Sogar 2=0 in jedem Körper der Charakteristik 0, nach Def. der Charakteristik.
Wie sieht denn dein Körper mit 4 Elementen hier konkret aus?
> LG,
> DrRiese
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Sa 03.05.2014 | | Autor: | DrRiese |
Hey, danke für die schnelle Antwort.
Unsere Galoiserweiterungen sind alle endlich.
Stimmt, habe hier [mm] \IF_{4} [/mm] mit [mm] \IZ_{4} [/mm] verwechselt.
Ok, [mm] \IF_{4} [/mm] hat vier Elemente 0, 1, A, B, Charakteristik = 2.
[mm] f(0)=0^{4}-0=0
[/mm]
[mm] f(1)=1^{4}-1=0
[/mm]
[mm] f(A)=A^{4}-A=0
[/mm]
[mm] f(B)=B^{4}-B=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \IF_{4} [/mm] Zerfällungskörper von f(x)
[mm] f(x)=x^{4}-x=(x-0)(x-1)(x-A)(x-B)
[/mm]
Ok, Behauptung: [mm] f(x)=x^{p^{n}}-x \in \IF_{p} [/mm] zerfällt über [mm] \IF_{p^{n}} [/mm] in Linearfaktoren.
ord [mm] \IF_{p^{n}} [/mm] bzgl. Multiplikation = [mm] p^{n}-1, [/mm] also folgt [mm] \alpha^{p^{n}}- \alpha [/mm] = 0, für alle [mm] \alpha \in \IF_{p^{n}}. [/mm] Das Polynom f(x) besitzt [mm] p^{n} [/mm] Nullstellen, also alle Elemente von [mm] \IF_{p^{n}} [/mm] sind Nullstellen. Somit zerfällt f(x) vollständig über [mm] \IF_{p^{n}} [/mm] in Linearfaktoren. Somit ist [mm] \IF_{p^{n}} [/mm] Zerfällungskörper und eine normale Erweiterung von [mm] \IF_{p}.
[/mm]
Fehlt nur noch seperabel.
Eine Körpererweiterung E von K heißt seperabel, wenn jedes [mm] \alpha \in [/mm] E seperabel über K ist.
Ein Elemente [mm] \alpha \in [/mm] E heißt seperabel über K, wenn [mm] \alpha [/mm] Nullstelle eines seperablen Polynoms f(x) [mm] \in [/mm] K[x] ist.
Also Behauptung: Die Körpererweiterung [mm] \IF_{p^{n}} [/mm] : [mm] \IF_{p} [/mm] ist seperabel.
Das Polynom [mm] f(x)=x^{p^{n}}-x \in \IF_{p}[x] [/mm] zerfällt über [mm] \IF_{p^{n}} [/mm] vollständig in Linearfaktoren, wobei alle [mm] p^{n} [/mm] Elemente vom Zerfällungskörper eine der [mm] p^{n} [/mm] Nullstellen bilden. Also ist f(x) seperabel und da alle [mm] \alpha \in \IF_{p^{n}} [/mm] eine Nullstelle von f(x) sind, folgt, dass die Körpererweiterung seperabel ist.
Da die Körpererweiterung endlich, normal und seperabel ist, ist [mm] \IF_{p^{n}} [/mm] : [mm] \IF_{p} [/mm] galoisch.
Wäre das so in Ordnung?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Sa 03.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Hey, danke für die schnelle Antwort.
>
> Unsere Galoiserweiterungen sind alle endlich.
>
> Stimmt, habe hier [mm]\IF_{4}[/mm] mit [mm]\IZ_{4}[/mm] verwechselt.
>
> Ok, [mm]\IF_{4}[/mm] hat vier Elemente 0, 1, A, B, Charakteristik =
> 2.
> [mm]f(0)=0^{4}-0=0[/mm]
> [mm]f(1)=1^{4}-1=0[/mm]
> [mm]f(A)=A^{4}-A=0[/mm]
> [mm]f(B)=B^{4}-B=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \IF_{4}[/mm] Zerfällungskörper von f(x)
> [mm]f(x)=x^{4}-x=(x-0)(x-1)(x-A)(x-B)[/mm]
>
>
> Ok, Behauptung: [mm]f(x)=x^{p^{n}}-x \in \IF_{p}[/mm] zerfällt
> über [mm]\IF_{p^{n}}[/mm] in Linearfaktoren.
>
> ord [mm]\IF_{p^{n}}[/mm] bzgl. Multiplikation = [mm]p^{n}-1,[/mm] also folgt
> [mm]\alpha^{p^{n}}- \alpha[/mm] = 0, für alle [mm]\alpha \in \IF_{p^{n}}.[/mm]
> Das Polynom f(x) besitzt [mm]p^{n}[/mm] Nullstellen, also alle
> Elemente von [mm]\IF_{p^{n}}[/mm] sind Nullstellen. Somit zerfällt
> f(x) vollständig über [mm]\IF_{p^{n}}[/mm] in Linearfaktoren.
> Somit ist [mm]\IF_{p^{n}}[/mm] Zerfällungskörper und eine normale
> Erweiterung von [mm]\IF_{p}.[/mm]
Ist in Ordnung. Du koenntest etwas dazu sagen, weshalb jedes Koerperelement die Gleichung [mm] $t^{p^{n}}-t=0$ [/mm] erfuellt. Hast Du daran gedacht, dass zu Zerfaellungskoerper gehoert, dass die Koerpererweiterung durch Adjunktion der Nullstellen ensteht? Ist hier aber trivial.
>
> Fehlt nur noch seperabel.
>
> Eine Körpererweiterung E von K heißt seperabel, wenn
> jedes [mm]\alpha \in[/mm] E seperabel über K ist.
> Ein Elemente [mm]\alpha \in[/mm] E heißt seperabel über K, wenn
> [mm]\alpha[/mm] Nullstelle eines seperablen Polynoms f(x) [mm]\in[/mm] K[x]
> ist.
O.K.
>
> Also Behauptung: Die Körpererweiterung [mm]\IF_{p^{n}}[/mm] :
> [mm]\IF_{p}[/mm] ist seperabel.
>
> Das Polynom [mm]f(x)=x^{p^{n}}-x \in \IF_{p}[x][/mm] zerfällt über
> [mm]\IF_{p^{n}}[/mm] vollständig in Linearfaktoren, wobei alle
> [mm]p^{n}[/mm] Elemente vom Zerfällungskörper eine der [mm]p^{n}[/mm]
> Nullstellen bilden. Also ist f(x) seperabel
> und da alle
> [mm]\alpha \in \IF_{p^{n}}[/mm] eine Nullstelle von f(x) sind,
> folgt, dass die Körpererweiterung seperabel ist.
Ja: das Polynom $f$ vom Grade [mm] $p^{n}$ [/mm] hat also [mm] $p^{n}$ [/mm] verschiedene Nullstellen, und ist damit separabel.
>
> Da die Körpererweiterung endlich, normal und seperabel
> ist, ist [mm]\IF_{p^{n}}[/mm] : [mm]\IF_{p}[/mm] galoisch.
>
> Wäre das so in Ordnung?
Ja.
>
> LG
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Sa 03.05.2014 | | Autor: | DrRiese |
Super, danke für die Antworten
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