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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Galois-Gruppe des Polynoms [mm] f(x)=x^{5}-9x+3 [/mm] über [mm] \IQ. [/mm] Geben sie an ob die Lösungen mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können. |
Mein Lösungsvorschlag:
1. f ist irreduzibel
f modulo 2 : [mm] f(x)=x^{5}-x+1
[/mm]
Angenommen es ist irreduzibel, dann gibt es einen Faktor von Grad 1 oder 2
Grad 1 => Polynom hat NST also 0 oder 1 -> beides aber keine NST
Grad 2 => das Polynom hat einen irreduziblen Faktor 2. Grades => [mm] x^{2}+x+1 [/mm] (in [mm] \IZ_{2} [/mm] gibt es nur ein irreduzibles Polynom)
[mm] (x^{5}-x+1)/(x^{2}+x+1)
[/mm]
Polynomdivision:
[mm] (x^{5}-x+1)= (x^{2}+x+1) (x^3+1)
[/mm]
=> Annahme ist falsch also ist f irreduzibel
2. f hat genau 3 reelle NST
f hat keine mehrfachen NST, da f irreduzibel ist
f hat mind. 3 reelle NST:
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es 3 reelle NST
f hat höchstens 3 NST:
f´(x)= 5 [mm] x^{4}-9
[/mm]
[mm] f´´(x)=20x^{3}
[/mm]
[mm] f´´´(x)=60x^{2} \ge [/mm] 0
=> f´´ist monoton wachsend (hat höchstens eine NST)
=> f hat höchstens 3 NST
Mit dem Satz von Rolle folgt:
f´(x)= 5 [mm] x^{4}-9 [/mm] => 2 reelle NST [mm] \pm \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel[4]{5}}
[/mm]
=> höchstens 3 reelle NST
f ist irreduzibel, d.h. die Galoisgruppe wirkt transitiv auf den NST
=> (Primzahl-Grad) : Galoisgruppe enthält einen Zyklus der länge 5, o.B.d.A. seien die Nullstellen so nummeriert, dass (12345) dieser Zyklus ist
Die komplexe Konjugation gehört zu der Galoisgruppe. Es gibt genau zwei nicht reelle NST, d.h. ein paar konjugiert komplexer NST, also wirkt die komplexe Konjugation als Vertauschung dieser beiden NST -> Das ist ein Zweierzyklus
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass 2erzyklus + 5er Zyklus => [mm] S_{5} [/mm]
Damit ist die Galisgruppe [mm] S_{5} [/mm] .
Ist das richtig so??
Zu dem zweiten Aufgabenteil weiss ich nicht was ich da genau machen muss. Könnt ihr mir da helfen
LG dankeeee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:54 Mo 17.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Bestimmen Sie die Galois-Gruppe des Polynoms
> [mm]f(x)=x^{5}-9x+3[/mm] über [mm]\IQ.[/mm] Geben sie an ob die Lösungen
> mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können.
> Mein Lösungsvorschlag:
>
> 1. f ist irreduzibel
>
> f modulo 2 : [mm]f(x)=x^{5}-x+1[/mm]
> Angenommen es ist irreduzibel, dann gibt es einen Faktor
> von Grad 1 oder 2
>
> Grad 1 => Polynom hat NST also 0 oder 1 -> beides aber
> keine NST
>
> Grad 2 => das Polynom hat einen irreduziblen Faktor 2.
> Grades => [mm]x^{2}+x+1[/mm] (in [mm]\IZ_{2}[/mm] gibt es nur ein
> irreduzibles Polynom)
>
> [mm](x^{5}-x+1)/(x^{2}+x+1)[/mm]
>
> Polynomdivision:
> [mm](x^{5}-x+1)= (x^{2}+x+1) (x^3+1)[/mm]
>
> => Annahme ist falsch also ist f irreduzibel
Oder Kriterium von Eisenstein!
>
> 2. f hat genau 3 reelle NST
> f hat keine mehrfachen NST, da f irreduzibel ist
Das hoert sich etwas komisch an, weil der Begriff der Separabilitaet mit der Vielfachheit von Nullstellen verknuepft ist; aber ich glaube ich verstehe dein Argument.
>
> f hat mind. 3 reelle NST:
>
> Nach dem Zwischenwertsatz gibt es 3 reelle NST
Das verstehe ich nicht: Nach meinem Dafuerhalten kann man mit dem ZWS nur auf die Existenz einer Nullstelle schliessen.
>
> f hat höchstens 3 NST:
>
> f´(x)= 5 [mm]x^{4}-9[/mm]
> [mm]f´´(x)=20x^{3}[/mm]
> [mm]f´´´(x)=60x^{2} \ge[/mm] 0
>
> => f´´ist monoton wachsend (hat höchstens eine NST)
>
> => f hat höchstens 3 NST
Dieser Schluss ist fuer mich unklar.
>
> Mit dem Satz von Rolle folgt:
>
> f´(x)= 5 [mm]x^{4}-9[/mm] => 2 reelle NST [mm]\pm \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel[4]{5}}[/mm]
>
> => höchstens 3 reelle NST
Das wirkt alles etwas konfus: Also $f'$ hat genau $2$ reelle Nullstellen; daher hat $f$ nach dem Satz von Rolle hoechstens $3$ reelle Nullstellen.
Nun ist $f(0)>0$ und $f(1)<0$. Ferner [mm] $\lim_{x\to \infty}f= \infty$ [/mm] und [mm] $\lim_{x\to -\infty}f= -\infty$. [/mm] Daraus laesst sich die Existenz mindestens $3$er Nullstellen ableiten.
>
> f ist irreduzibel, d.h. die Galoisgruppe wirkt transitiv
> auf den NST
>
> => (Primzahl-Grad) : Galoisgruppe enthält einen Zyklus der
> länge 5, o.B.d.A. seien die Nullstellen so nummeriert,
> dass (12345) dieser Zyklus ist
>
> Die komplexe Konjugation gehört zu der Galoisgruppe. Es
> gibt genau zwei nicht reelle NST, d.h. ein paar konjugiert
> komplexer NST, also wirkt die komplexe Konjugation als
> Vertauschung dieser beiden NST -> Das ist ein Zweierzyklus
>
> In der Vorlesung wurde gezeigt, dass 2erzyklus + 5er Zyklus
> => [mm]S_{5}[/mm]
>
> Damit ist die Galisgruppe [mm]S_{5}[/mm] .
>
>
>
> Ist das richtig so??
Ja, finde ich gut.
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> Zu dem zweiten Aufgabenteil weiss ich nicht was ich da
> genau machen muss. Könnt ihr mir da helfen
Ich bin mir sicher, dass ihr in der Vorlesung ein genau-dann-wenn Kriterium behandelt habt, wann eine komplexe Zahl im Koerper der konstruierbaren Zahlen enthalten ist.
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> LG dankeeee
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Vielen Dank für deine Hilfe hippias :)
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