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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Do 09.03.2006 | | Autor: | cycilia |
| Aufgabe | | Bestimme die Galois -Gruppe von f = [mm] x^4-12x^2+35 \in \IQ[X]. [/mm] |
Zunächst habe ich die Nullstellen berechnet:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \wurzel{7}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] =- [mm] \wurzel{7}
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \wurzel{5}
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = - [mm] \wurzel{5}
[/mm]
Dementsprechenend ist L [mm] =\IQ(\wurzel{7},\wurzel{5}) [/mm] eine Galois-Erweiterung.
Da [mm] [L:\IQ] [/mm] =4 ist die Ordnung der Galois-Gruppe 4.
Die Galois Gruppe besteht aus den Automorphismen von L.
Ist dann Gal [mm] (L/\IQ) [/mm] = {1, [mm] \delta, \tau, \delta \tau}
[/mm]
Steht zwar nicht in der Aufgabenstellung, aber wie bestimme ich sämliche Zwischenkörper? Das sind doch genau die Untergruppen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Do 09.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Bestimme die Galois -Gruppe von f = [mm]x^4-12x^2+35 \in \IQ[X].[/mm]
>
> Zunächst habe ich die Nullstellen berechnet:
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\wurzel{7}[/mm]
> [mm]x_2[/mm] =- [mm]\wurzel{7}[/mm]
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\wurzel{5}[/mm]
> [mm]x_4[/mm] = - [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
> Dementsprechenend ist L [mm]=\IQ(\wurzel{7},\wurzel{5})[/mm] eine
> Galois-Erweiterung.
>
> Da [mm][L:\IQ][/mm] =4 ist die Ordnung der Galois-Gruppe 4.
Ja, wobei man dazu wissen muss das [mm] $\sqrt{5} \not\in \IQ(\sqrt{7})$ [/mm] (und, hier sogar aequivalent dazu, [mm] $\sqrt{7} \not\in \IQ(\sqrt{5})$) [/mm] ist; ansonsten waere [mm] $[L:\IQ] [/mm] = 2$.
> Die Galois Gruppe besteht aus den Automorphismen von L.
>
> Ist dann [mm]Gal (L/\IQ) = \{1, \delta, \tau, \delta \tau\}[/mm]
Ein Nachtrag zum Formel-Editieren-Thread von vorhin: Geschweifte Klammern werden in Formeln als Gruppierungs-Zeichen benutzt und tauchen nachher im Endergebnis nicht auf. Wenn du sichtbare geschweifte Klammern haben willst, musst du \{ bzw. \} schreiben.
(Du kannst dir auch den Quelltext von Forumsbeitraegen anschauen um zu sehen, wie jemand etwas bestimmtes hinbekommen hat.)
> Steht zwar nicht in der Aufgabenstellung, aber wie bestimme
> ich sämliche Zwischenkörper? Das sind doch genau die
> Untergruppen oder?
Sie entsprechen den Untergruppen  Und diese Korrespondenz ist Ordnungserhaltend, womit die Struktur des Untergruppengitters genau der Struktur des Zwischenkoerpergitters ist.
Die Galoisgruppe hat vier Elemente, ist also entweder zyklisch (isomorph zu [mm] $\IZ/4\IZ$) [/mm] oder nicht zyklisch (isomorph zu [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$). [/mm] Ersteres kann nicht sein, da es sicher keinen Automorphismus gibt, der [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] auf [mm] $\sqrt{7}$ [/mm] abbildet (und das muesste es dann geben). Also ist die Galoisgruppe isomorph zu [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$, [/mm] was insbesondere bedeutet, dass es zwei echte Zwischenkoerper (neben [mm] $\IQ$ [/mm] und $L$ selber) gibt, welche sich nicht gegenseitig enthalten.
Da [mm] $\IQ(\sqrt{5})$ [/mm] und [mm] $\IQ(\sqrt{7})$ [/mm] offensichtlich echte Zwischenkoerper sind, die sich nicht gegenseitig enthalten, sind das somit (zusammen mit [mm] $\IQ$ [/mm] und $L$) alle Zwischenkoerper!
(Wenn du das fuer ne groessere Galoisgruppe machen willst, musst du versuchen herauszubekommen, wie die Automorphismen aussehen, bzw. was sie mit den Nullstellen machen. Meistens laeuft es jedoch darauf hinaus das man viele kleine Tricks benutzt...)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Clemens |
Hallo zusammen!
In der Kleinschen Vierergruppe ist ja jedes Element selbstinvers, es gibt also mindestens 3 nicht-triviale Untergruppen. Dem entspricht der noch vergessene Zwischenkörper [mm] Q(\wurzel{35}).
[/mm]
Gruß Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Fr 10.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Clemens,
> In der Kleinschen Vierergruppe ist ja jedes Element
> selbstinvers, es gibt also mindestens 3 nicht-triviale
> Untergruppen. Dem entspricht der noch vergessene
> Zwischenkörper [mm]Q(\wurzel{35}).[/mm]
Oooops, ja, stimmt, den hab ich ganz vergessen! :-/ Vielen Dank fuer den Hinweis!
LG Felix
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