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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Do 14.05.2009 | | Autor: | JuliaF |
| Aufgabe | Seien K ein Körper, T eine Menge. Wir betrachten den Körper K(T) der rationalen Funktionen über K mit Variablen aus T.
(a) Jedes [mm] a\inK(T)\K [/mm] ist transzendent über K.
(b) Genau dann ist [mm] K(T)\subseteq [/mm] K eine Galoiserweiterung, wenn K unendlich ist oder [mm] |T|\not= [/mm] 1 |
Hallo!!
Ich brauche mal wieder Hilfe...
ich denke, dass ich a) schon hinbekommen habe, aber nun weiß ich bei b) überhaupt nicht weiter. Wir hatten in der Vorlesung eigentlich einen sehr ähnlichen Satz:
Genau dann ist [mm] K(t)\subseteq [/mm] K eine Galoiserweiterung, wenn K unendlich ist.
Diesen Satz haben wir auch bewiesen, aber nun weiß ich nicht wie ich das auf T umsetzen soll.
Wäre super, wenn mir jemand helfen kann.
Viele Grüße
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:02 Fr 15.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia!
> Seien K ein Körper, T eine Menge. Wir betrachten den Körper
> K(T) der rationalen Funktionen über K mit Variablen aus T.
> (a) Jedes [mm]a\in K(T)\setminus K[/mm] ist transzendent über K.
> (b) Genau dann ist [mm]K(T)\supseteq[/mm] K eine Galoiserweiterung,
> wenn K unendlich ist oder [mm]|T|\not=[/mm] 1
(Notation korrigiert.)
Dazu erstmal eine Frage. Wie genau definiert ihr `Galoiserweiterung'? Alle Galoiserweiterungen die ich kenne sind insbesondere auch algebraisch, womit Aufgabenteil (b) laut Teil (a) keinen Sinn macht.
> Ich brauche mal wieder Hilfe...
> ich denke, dass ich a) schon hinbekommen habe, aber nun
> weiß ich bei b) überhaupt nicht weiter. Wir hatten in der
> Vorlesung eigentlich einen sehr ähnlichen Satz:
> Genau dann ist [mm]K(t)\subseteq[/mm] K eine Galoiserweiterung,
> wenn K unendlich ist.
>
> Diesen Satz haben wir auch bewiesen, aber nun weiß ich
> nicht wie ich das auf T umsetzen soll.
Das haengt vom Beweis ab.
Verrate uns doch erstmal, was ihr unter einer Galoiserweiterung versteht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Fr 15.05.2009 | | Autor: | JuliaF |
Hm, ist leider wohl jetzt schon ein bisschen spät für meine Aufgaben, aber interessieren tut es mich trotzdem. Also wir haben eine Galoiserweiterung wie folgt definiert:
Sei [mm] K\le [/mm] L eine Körpererweiterung. Gilt [mm] gal(Aut_K [/mm] (L))=K so heißt [mm] K\le [/mm] L Faloiserweiterung. Mit anderen Worten ist K der Fixkörper von [mm] Aut_K [/mm] L.
Könnte man die auch anders definieren?
Viele Grüße
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Fr 15.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia!
> Hm, ist leider wohl jetzt schon ein bisschen spät für meine
> Aufgaben, aber interessieren tut es mich trotzdem. Also wir
> haben eine Galoiserweiterung wie folgt definiert:
> Sei [mm]K\le[/mm] L eine Körpererweiterung. Gilt [mm]gal(Aut_K[/mm] (L))=K
> so heißt [mm]K\le[/mm] L Faloiserweiterung. Mit anderen Worten ist K
> der Fixkörper von [mm]Aut_K[/mm] L.
> Könnte man die auch anders definieren?
Nun, man sagt die Erweiterung $L/K$ heisst galoissch wenn sie algebraisch, separabel und normal ist. Siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier. Bei endlichen Erweiterungen ist es aequivalent zu deiner Formulierung (bei beliebigen algebraischen auch denke ich).
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Fr 15.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia!
> Seien K ein Körper, T eine Menge. Wir betrachten den Körper
> K(T) der rationalen Funktionen über K mit Variablen aus T.
> (a) Jedes [mm]a\inK(T)\K[/mm] ist transzendent über K.
> (b) Genau dann ist [mm]K(T)\subseteq[/mm] K eine Galoiserweiterung,
> wenn K unendlich ist oder [mm]|T|\not=[/mm] 1
Mach eine Fallunterscheidung:
a) $|T| = 1$
b) $|T| > 1$
Im ersten Fall sagt der Satz aus der Vorlesung alles.
Im zweiten Fall gehe wie folgt vor. Nimm ein Element $f$ aus $K(T) [mm] \setminus [/mm] K$, du musst zeigen dass es einen Automorphismus gibt der dieses veraendert.
Wenn $f$ nicht symmetrisch in den Variablen aus $T$ ist, kannst du den Autormophismus basteln indem du zwei Variablen vertauscht.
Wenn $f$ symmetrisch ist, dann lass alle Variablen fest, ausser eine, sagen wir $x$ die du auf $x + 1$ abbildest. Ueberlege dir, dass das Bild von $f$ unter diesem Automorphismus nicht wieder $f$ sein kann.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Mo 18.05.2009 | | Autor: | JuliaF |
Hallo Felix!
Vielen Dank für deine Antwort!
ICh denke, dass ich das nun verstanden habe, aber auf die Unterscheidung, ob f symmetrisch ist oder nicht, wäre ich nciht so unbedingt gekommen, bzw. ich wusste ja gar nicht wo ich anfangen sollte. Bin mal gespannt, wie das morgen in der Übung gemacht wird.
Viele Grüße
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Mo 18.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia!
> Vielen Dank für deine Antwort!
> ICh denke, dass ich das nun verstanden habe, aber auf die
> Unterscheidung, ob f symmetrisch ist oder nicht, wäre ich
> nciht so unbedingt gekommen, bzw. ich wusste ja gar nicht
> wo ich anfangen sollte. Bin mal gespannt, wie das morgen in
> der Übung gemacht wird.
Wenn die Loesung da recht anders ist beschreib sie doch mal :)
Zu dem symmetrisch/nicht symmetrisch: symmetrisch heisst ja grad, dass es unter Variablentausch invariant ist. Wenn es nicht symmetrisch ist, wird es also von mindestens einem Variablentausch nicht festgehalten. Ist es dagegen symmetrisch, so ist es nach $x [mm] \mapsto [/mm] x + 1$ fuer eine Variable $x$ nicht mehr symmetrisch, und damit wird es davon nicht festgehalten.
LG Felix
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