Galoiserweiterung vom Grad 9 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:03 Do 23.02.2012 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | | Geben sie einen Erweiterungskörper L von [mm] \IQ [/mm] an, dessen Galoisgruppe [mm] Gal(L|\IQ) [/mm] zyklisch der Ordnung 9 ist. |
Hallo,
bräuchte mal wieder etwas Rat :)
Hab schon etwas vorgearbeitet.
[mm] \IZ/9\IZ [/mm] ist abelsch, also muss ich ein Polynom vom Grad 9 finden, dass die Galoisgruppe [mm] \IZ/9\IZ [/mm] hat.
Sei f= [mm] x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
[/mm]
Dann ist f irreduzibel und besitzt die neun Nullstellen, nämlich die neun neunten komplexen Einheitswurzeln.
Damit ist [mm] [\IQ(\zeta):\IQ]=9
[/mm]
Das wäre meine Idee. Ist das korrekt?
War bis jetzt nur mal eine Vermutung.
LG
Tina
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Do 23.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Geben sie einen Erweiterungskörper L von [mm]\IQ[/mm] an, dessen
> Galoisgruppe [mm]Gal(L|\IQ)[/mm] zyklisch der Ordnung 9 ist.
>
> Hallo,
>
> bräuchte mal wieder etwas Rat :)
>
> Hab schon etwas vorgearbeitet.
>
>
> [mm]\IZ/9\IZ[/mm] ist abelsch, also muss ich ein Polynom vom Grad 9
> finden, dass die Galoisgruppe [mm]\IZ/9\IZ[/mm] hat.
>
> Sei f= [mm]x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1[/mm]
>
>
> Dann ist f irreduzibel und besitzt die neun Nullstellen,
> nämlich die neun neunten komplexen Einheitswurzeln.
Nein. Wenn $f$ irreduzibel waer, dann waeren die Nullstellen alle 10-ten Einheitswurzeln ausser 1. Die 9-ten Einheitswurzeln sind keine Nullstellen davon. Irreduzibel ist es aber auch nicht.
(Und [mm] $x^8 [/mm] + [mm] x^7 [/mm] + ... + 1$ ebenfalls nicht.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 25.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:38 Sa 25.02.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, wir waren wohl in der gleichen Klausur gesessen  . Das geht anders vergleiche meine Frage "Galoiserweiterung isomorph [mm] \IZ/9\IZ" [/mm]
Nimm den 19ten Kreisteilungskörper. Dann gilt [mm] [\IQ(\zeta_{19}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 18. Die Galoisgruppe ist zyklisch. Also gibt es eine Untergruppe der Ordnung 2 entsprechend einen Fixkörper mit Grad 9 über Q der zyklisch ist. Allerdings weiß ich nicht, ob das für die Klausur schon ausreichend gewesen wäre oder ob der Fixkörper konkret angegeben werden muss. Das hab ich nämlich net hingebracht.
Gruß
|
|
|
|
