Galoisgruppe iso zu Quaternion < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Sa 16.06.2012 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | | Finden Sie eine quadratische Erweiterung L des Körpers K = [mm] $\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3})$, [/mm] so dass [mm] $L|\IQ$ [/mm] eine Galois-Erweiterung ist, deren Gruppe die Quaternionengruppe ist. |
Ich hab L = [mm] $\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}, \wurzel{7})$ [/mm] gesetzt. Der ist zumindest endlich und galoisch (Bewis hab ich bereits erbracht). Jez bin ich mir aber nicht sicher wie die Galoisgruppe aussieht. Gal(L|K) = Aut(L|K). Und Aut(L|K) sind ja alle Morphismen, die Nullstelle auf Nullstelle abbilden (Eine mathematisch formale richtige Definition von Aut(L|K) würde mir schon hier helfen denke ich)
Also die Identität wird sicherlich dabei sein, so wie die Negation. Mir ist aber nicht klar wie die anderen Morphismen aussehen. Ich hatte zwar eine Variante, zum Beispiel:
[mm] $\wurzel{2} \mapsto -\wurzel{2}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{3} \mapsto \wurzel{3}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{7} \mapsto -\wurzel{7}$
[/mm]
Und ensprechende Umkehrabbildung und weitere Kombinationen (was genau 8 Morphismen ergiub zusammen mit id und -id) aber das ergibt nicht die Quaternionengruppe. Hat jemand einen hilfreichen Rat für mich? Danke
EDIT: Macht es Sinn anstelle von [mm] \wurzel{7} [/mm] i mit [mm] i^2 [/mm] = -1 zu adjungieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Sa 16.06.2012 | | Autor: | cycore |
Hallo shadee,
ich finde, daß die Aufgabe etwas eigenartig formuliert ist, aber du scheinst sie richtig verstanden zu haben. Um nochmal festzuhalten was in der Aufgabenstellung bereits (vor)gegeben ist: wir haben Automorphismen (von [mm]K/\IQ[/mm]) [mm]I\colon \sqrt{2}\mapsto-\sqrt{2},\text{ sonst invar.}[/mm] und [mm]J\colon \sqrt{3}\mapsto-\sqrt{3},\text{ sonst invar.}[/mm], für die gilt [mm]I^2 = 1[/mm], [mm]J^2 = 1[/mm] und [mm]IJ=JI[/mm]. Das sieht im Hinblick auf die Galoisgruppe ja schonmal nicht schlecht aus. Wir suchen also eine Körpererweiterung [mm]L=K[\alpha][/mm] vom Grad zwei so, dass der einzige nichttriviale Automorphismus von [mm]L/K[/mm] durch die Invloution [mm]i\colon\alpha\mapsto-\alpha[/mm] gegeben ist. Das ist aber nicht alles was benötigt wird: Man muss Fortsetzungen von [mm]I[/mm] und [mm]J[/mm] wählen, die [mm]I^2 = J^2 = i[/mm] und [mm]iIJ=JI[/mm] erfüllen. Dann ist mit [mm]K=IJ[/mm] ein Erzeugendensystem [mm]I,J,K[/mm] der Galoisgruppe gegeben, für das [mm]I^2=J^2=K^2=IJK=i[/mm] und [mm]i^2=1[/mm] gilt. Damit folgt die Gleichheit der Galoisgruppe zur Quanternionengruppe, da zudem die Anzahl der Elemente übereinstimmt.
Ein solches [mm]\alpha[/mm] gilt es also zu finden. Ein Tipp dazu: [mm]K=\IQ[\sqrt{2},\sqrt{3}][/mm] entsteht als Zerfällungskörper eines Polynoms vom Grad 4 über [mm]\IQ[/mm], z.B. [mm]g(X) = X^4-72X^3+180X^2-144X+36[/mm]. Man kann [mm]\alpha[/mm] als die Quadratwurzel einer der Nullstellen wählen.
Hoffe damit kommst du weiter. Gruß cycore
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Sa 16.06.2012 | | Autor: | shadee |
Danke für die schnelle Antwort. Du hast es gut und ausfürhlich erklärt. Das ist schon mal n Pluspunkt. Ich hab dan irr. Polynom mal durch Wolframalpha gejagt (![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/input/?i=X^4-72X^3%2B180X^2-144X%2B36+) und es kommen andere Nullstellen aus. Kann durch aus sein, dass der davon erzeugte Zkf mit dem [mm] $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$ [/mm] übereinstimmt. Jedenfalls ist es für mich nicht offensichtlich warum die Wurzel aus einer dieser Nullstellen dazu adjungieren kann und dann als Galoisgruppe die Quaternionengrupppe entsteht. Ich versuch das nochmal offline nach zuvollziehen und melde mich wenn ich fortschritte habe. Wenn du deine Idee nochmal näher erklären magst, dann hab ich nichts dagegen^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 So 17.06.2012 | | Autor: | cycore |
Ja, die Nullstellen sind nicht ganz so schnell in dieser Gestalt zu finden. Jedenfalls findet man sie mit dem Ansatz, daß man schon davon ausgeht man wüsste sie wären von der Gestalt [mm]a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}[/mm]. Um dir Arbeit zu ersparen: es sind die vier Versionen von [mm]18\pm 12\sqrt{2}\pm 10\sqrt{3}\pm 7\sqrt{6}[/mm] mit den Vorzeichenverteilungen +++, -+-, +-- und --+. Da du ja "nur" ein Element suchst, das man an K adjungieren kann, um die Quanternionengruppe als Galoisgruppe zu realisieren mag es sein, daß man eines auf einfacherere Weise finden kann, aber dann kenne ich diese nicht. Wenn du es nach meinem Tipp machst, bekommst du sogar gleich das Polynom dazu, dessen Zerfällungskörper die Quanternionengruppe realisiert (indem du [mm]f(X)=g(X^2)[/mm] nimmst, [mm]g[/mm] wie in der anderen Antwort). Daher das Adjungieren der Quadratwurzel. Das dir nicht auf Anhieb klar ist wieso das funktioniert ist ok, denn es ist auch keineswegs klar, zumindest nicht a priori — da ist noch etwas zu zeigen. Nämlich das die Involutionen [mm]I[/mm] und [mm]J[/mm] Fortsetzungen wie in der anderen Antwort beschrieben besitzen. Dazu gerne ein noch detailierte Beschreibung, wie die Nullstellen von [mm]f[/mm] aussehen.
Notiere die Nullstellen in der Reihenfolge wie oben [mm]x_1,x_2,x_3,x_4[/mm] (also mit den Vorzeichen 1~[+++], 2~[-+-], 3~[+--], 4~[--+]). Man findet recht leicht, daß [mm]\IQ[x_1] = K = \IQ[\sqrt{2},\sqrt{3}][/mm] der Zerfällungskörper von [mm]g[/mm] ist. Es sei [mm]\alpha[/mm] eine Quadratwurzel von [mm]x_1[/mm] und für [mm]i=2,3,4[/mm] sei [mm]\alpha_i[/mm] eine Lösung von [mm]X^2-x_i = 0[/mm]. Dann ist [mm](\alpha\alpha_1)^2 = x_1 x_i[/mm] und die [mm]x_1 x_i[/mm] lassen sich schnell als Quadrate darstellen, also z.B. [mm]x_1 x_2 = \dots = 42+24\sqrt{3} = (\sqrt{2}(3+2\sqrt{3}))^2[/mm]. Wenn du die übrigen beiden Ausdrücke in dieser Form ausrechnest, dann findest du alle acht Nullstellen von [mm]f[/mm] als Ausdrücke in [mm]\alpha, \sqrt{2}, \sqrt{3}[/mm] und [mm]\sqrt{6}[/mm], also mittels obigem zum Beispiel [mm]\alpha_2 = \pm \frac{1}{\alpha} \sqrt{2}(3+2\sqrt{3})[/mm]. Die Fortsetzungen von [mm]I[/mm] und [mm]J[/mm] solltest du dann mittels [mm]\alpha\mapsto\alpha_2[/mm] bzw. [mm]\alpha\mapsto\alpha_3[/mm] finden. Ab hier ist nur noch das zu zeigen, was in der früheren Antwort steht. Dann hast du eine Galoisgruppe der Ordnung 8, die von Elementen erzeugt wird, die dasselbe Verhalten haben wie die Erzeuger der Quanternionengruppe, die ebenfalls 8 Elemente besitzt.
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