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| Aufgabe | Sei [mm] L\le \IC [/mm] ein Zerfällungskörper von [mm] f=t^3-2 \in \IQ[/mm] [t].
a) Zeigen Sie: [mm] L=\IQ(\wurzel[3]{2},i\wurzel{3})
[/mm]
b) Bestimmen Sie die [mm] Gal(\IQ,L) [/mm] und alle Untergruppen von G.
c) Bestimmen Sie mit Hilfe des Hauptsatzes der Galoistheorie alle Teilkörper von L. |
Hallo allerseits!
Ich hätte mal wieder einige Fragen...
a) habe ich ausgerechnet, wenn ichs vll auch formal nicht ganz richtig gemacht habe. Auf jeden Fall ist mit den Nullstellen von f [mm] L=\IQ(\wurzel[3]{2},\bruch{-\wurzel[3]{2}+i\wurzel[3]{2}\wurzel{3}}{2},\bruch{-\wurzel[3]{2}-i\wurzel[3]{2}\wurzel{3}}{2}). [/mm] Damit kann man rum rechnen und erhält [mm] L=\IQ(\wurzel[3]{2},i\wurzel{3}).
[/mm]
Soweit so gut, aber jetzt gehen die Probleme los. Nämlich bei
b)
Zwar wurde uns wiederholt vorgerechnet, wie man die Galoisgruppe berechnet, aber anscheinend bin ich zu dämlich, um das direkt auf ein Beispiel zu übertragen... Ich schaffe es einfach nicht.
Also: Ich weiß, dass [mm] |Gal(\IQ,L)|=dim_{\IQ}L=6 [/mm] (folgt aus a),... ich hab die Basis ausgerechnet). Also suche ich die sechs Elemente der Galoisgruppe. Die definieren sich doch allein darüber, wie sie die Nullstellen vertauschen, nicht wahr? Aber genau da gerate ich ins Stocken. Das einzige, was ich mit Sicherheit wieß, ist dass [mm] id_{\IQ}\in Gal(\IQ,L)... [/mm] 
Könnte mir jemand helfen? Denn wenn ich die nicht ausgerechnet bekomme, kann ich auch nicht Untergruppen/-körper bestimmen...
Wäre nett, wenn mir das jemand ausführlich und idiotensicher durchrechnen könnte, GRuß,
San
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Mi 26.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo San!
Ich hab grad nicht viel Zeit, deswegen nur kurz: Das ist ein Polynom dritten Grades, also hast du drei Nullstellen. Die Galoisgruppe permutiert diese (und ist durch die Bilder dieser eindeutig bestimmt), sie kann also als Untergruppe von [mm] $S_3$ [/mm] aufgefasst werden. Nun hat [mm] $S_3$ [/mm] genau 6 Elemente, und die Galoisgruppe hat auch 6 Elemente, also ist die Galoisgruppe isomorph zu [mm] $S_3$. [/mm] Damit kannst du schonmal alle Untergruppen bestimmen 
Und das ganze noch etwas anders ausgedrueckt: Zu jeder Permutation der Nullstellen gibt es einen Automorphismus, der die auch so permutiert.
LG Felix
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Wunderbar, danke!
Zumindest habe ich jetzt 3 Untergruppen gefunden: Die Gruppe selbst,
{ [mm] id_\IQ [/mm] }
[mm] U_1:= [/mm] { [mm] id_\IQ, (a_1,a_2,a_3),(a_1,a_3,a_2) [/mm] } ,
[mm] U_2:= [/mm] { id, [mm] (a_1,a_2) [/mm] },
[mm] U_3:= [/mm] { id, [mm] (a_1,a_3) [/mm] },
[mm] U_4:= [/mm] { id, [mm] (a_2,a_3) [/mm] },wobei ich meine Nullstellen
[mm] a_1:=\wurzel[3]{2}, [/mm]
[mm] a_2:=\bruch{-\wurzel[3]{2}+i\wurzel[3]{2}\wurzel{3}}{2} [/mm] und
[mm] a_3:=\bruch{-\wurzel[3]{2}-i\wurzel[3]{2}\wurzel{3}}{2} [/mm] gesetzt habe und die Permutationen betrachte.
Meine Argumentation ist folgende: Da f.a. Untergruppen U gelten muss, dass |U| |Gal(K,L)| teilt, folgt, dass [mm] |U|\in [/mm] {1,2,3,6} sein muss. 1 und 6 sind die trivialen UGruppen. In den Untergruppen der Ordnung zwei kann neben der Identität nur eine Transposition stehen, da sie im Gegensatz zu den anderen Elementen der [mm] S_3 [/mm] selbstinvers sind. Bleibt also noch 3. [mm] U_4 [/mm] ist eine Untergruppe, da stimmt schon mal. Und mehr kann es nicht geben, weil ich dann doch eine Transposition entweder a)mit einer anderen Transposition oder b) mit der Verknüpfung von zwei anderen Transpositionen "zusammenpacken" und keines davon kann klappen:
a) die hintereinanderausführung wär ncht in der UnterGruppe
und b): weil die beiden niemals die Identität ergeben könnten
So und jetzt zu den Körpern: Wenn (K,L) galoissch ist (ist es das?) dann greift der Hauptsatz und [mm] C_L(U)=M [/mm] f.a. [mm] M\le [/mm] L bzw. [mm] U\le [/mm] G.
Für {id} gilt: [mm] C_L({id})=L
[/mm]
Für G:=Gal(K,L) gilt: [mm] C_L(G)=K.
[/mm]
Soweit zu den trivialen Fällen.
Jetzt wunder ich mich allerdings. Für [mm] U_1 [/mm] habe ich mir ein l aus L genommen (mit [mm] l=x+ya_1+ua_2+va_3; [/mm] x,y,u,v [mm] \in \IQ) [/mm] und darauf die beiden Permutationen losgelassen. Ich hab erhalten, dass y=u=v sein muss. Was heißt das jetzt konkret für meinen Körper??? Doch dass [mm] C_L(U_1)=\IQ(a_1+a_2+a_3) [/mm] ist, oder? Das ist aber doch [mm] \IQ, [/mm] da in diesem Fall [mm] a_1+a_2+a_3=0??? [/mm] Ist das richtig so?
bei den "kleineren" Ugruppen ist das dann ja analog, wenn sich also jemand netterweise durch dieses Chaos kämpfen würde und mir für dieses Beispiel antworten würde, wäre das sehr nett.
Gruß,
San
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo San!
Sorry das ich erst jetzt antworte, vorher hatte ich leider keine Zeit.
> Wunderbar, danke!
> Zumindest habe ich jetzt 3 Untergruppen gefunden: Die
Du meinst 6, oder?
> Gruppe selbst,
> [mm]\{ id_\IQ \}[/mm]
> [mm]U_1:= \{ id_\IQ, (a_1,a_2,a_3),(a_1,a_3,a_2) \}[/mm],
> [mm]U_2:=\{ id, (a_1,a_2) \}[/mm],
> [mm]U_3:= \{ id, (a_1,a_3) \}[/mm],
> [mm]U_4:= \{ id, (a_2,a_3) \}[/mm],
Genau!
> wobei ich meine Nullstellen
> [mm]a_1:=\wurzel[3]{2},[/mm]
> [mm]a_2:=\bruch{-\wurzel[3]{2}+i\wurzel[3]{2}\wurzel{3}}{2}[/mm] und
> [mm]a_3:=\bruch{-\wurzel[3]{2}-i\wurzel[3]{2}\wurzel{3}}{2}[/mm]
Liegen die denn ueberhaupt in $L$? Ist $L$ vielleicht [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}, i\sqrt[3][2])$ [/mm] und nicht etwa $L = [mm] \IQ(\sqrt[3]{2}, [/mm] i [mm] \sqrt{3})$ [/mm] wie du im ersten Posting geschrieben hast?
<edit> Argh, ich kann wohl nicht lesen :D Sorry! Ignorier die Frage einfach... </edit>
> gesetzt habe und die Permutationen betrachte.
> Meine Argumentation ist folgende: Da f.a. Untergruppen U
> gelten muss, dass |U| |Gal(K,L)| teilt, folgt, dass [mm]|U|\in[/mm]
> {1,2,3,6} sein muss. 1 und 6 sind die trivialen UGruppen.
> In den Untergruppen der Ordnung zwei kann neben der
> Identität nur eine Transposition stehen, da sie im
> Gegensatz zu den anderen Elementen der [mm]S_3[/mm] selbstinvers
> sind.
Genau.
> Bleibt also noch 3. [mm]U_4[/mm] ist eine Untergruppe, da
> stimmt schon mal. Und mehr kann es nicht geben, weil ich
> dann doch eine Transposition entweder a)mit einer anderen
> Transposition oder b) mit der Verknüpfung von zwei anderen
> Transpositionen "zusammenpacken" und keines davon kann
> klappen:
> a) die hintereinanderausführung wär ncht in der
> UnterGruppe
> und b): weil die beiden niemals die Identität ergeben
> könnten
Mach das doch lieber mit den Sylowschen Saetzen, dann hast du es eigentlich sofort da stehen :)
> So und jetzt zu den Körpern: Wenn (K,L) galoissch ist (ist
> es das?)
Je nachdem was $L$ denn nun ist... Wenn $L$ die Nullstellen enthaelt, ja.
> dann greift der Hauptsatz und [mm]C_L(U)=M[/mm] f.a.
> [mm]M\le[/mm] L bzw. [mm]U\le[/mm] G.
Das ''fuer alle'' ist da sicher falsch. Du meinst das richtige, hast es aber falsch aufgeschrieben.
> Für [mm] $\{id\}$ [/mm] gilt: [mm]C_L(\{id\})=L[/mm]
> Für G:=Gal(K,L) gilt: [mm]C_L(G)=K.[/mm]
> Soweit zu den trivialen Fällen.
> Jetzt wunder ich mich allerdings. Für [mm]U_1[/mm] habe ich mir ein
> l aus L genommen (mit [mm]l=x+ya_1+ua_2+va_3;[/mm] x,y,u,v [mm]\in \IQ)[/mm]
Der [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] $L$ hat die Dimension $6$. Insofern erwischt du so nicht alle Elemente. (Eigentlich muesstest du auch noch begruenden, das $1, [mm] a_1, a_2, a_3$ [/mm] linear unabhaengig ueber [mm] $\IQ$ [/mm] sind. Wenn sie dies nicht waeren, koennte die Galoisgruppe allerdings nicht isomorph zu [mm] $S_3$ [/mm] sein da Abhaengigkeiten beruecksichtigt werden muessten.)
> und darauf die beiden Permutationen losgelassen. Ich hab
> erhalten, dass y=u=v sein muss. Was heißt das jetzt konkret
> für meinen Körper??? Doch dass [mm]C_L(U_1)=\IQ(a_1+a_2+a_3)[/mm]
> ist, oder? Das ist aber doch [mm]\IQ,[/mm] da in diesem Fall
> [mm]a_1+a_2+a_3=0???[/mm] Ist das richtig so?
Wenn $1, [mm] a_1, a_2, a_3$ [/mm] eine Basis von $L/K$ waeren, dann wuerde das so stimmen.
Sorry, mir laeuft grad wieder die Zeit davon, ich werd mich nachher nochmal melden!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo San!
Es ist ja [mm]L = \IQ(\sqrt[3]{2}, i \sqrt{3})[/mm]. Dann ist eine [mm]\IQ[/mm]-Basis gegeben durch [mm]1[/mm], [mm]\sqrt[3]{2}[/mm], [mm]\sqrt[3]{2}^2[/mm], [mm]i \sqrt{3}[/mm], [mm]i \sqrt[3]{2} \sqrt{3}[/mm], [mm]i \sqrt[3]{2}^2 \sqrt{3}[/mm]. (Weisst du warum?)
Damit solltest du weitermachen koennen.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 So 30.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank erst mal für die Mühe, die du dir mit der Antwort gegeben hast.
Einige der GEdanken, hatte ich mir in der zwischenzeit selbst gemacht, andere nicht.
> Es ist ja [mm]L = \IQ(\sqrt[3]{2}, i \sqrt{3})[/mm]. Dann ist eine
> [mm]\IQ[/mm]-Basis gegeben durch [mm]1[/mm], [mm]\sqrt[3]{2}[/mm], [mm]\sqrt[3]{2}^2[/mm], [mm]i \sqrt{3}[/mm],
> [mm]i \sqrt[3]{2} \sqrt{3}[/mm], [mm]i \sqrt[3]{2}^2 \sqrt{3}[/mm]. (Weisst
> du warum?)
Ja, ich weiß warum und dieser Gedanke gehört zu den eigenständig gemachten, allerdings hatte ich das schon gleich zu anfang ausgerechnet (wenn vll auch nicht besonders deutlich gemacht, dass dieser Teil der Aufgabe klar ist) Allerdings habe ich es auch nicht besonders mit dem formellen aufschreiben solcher "Kleinigkeiten"
> Wunderbar, danke!
> Zumindest habe ich jetzt 3 Untergruppen gefunden: Die
> Du meinst 6, oder?
Ja, mein ich! Wer rechnen kann, ist stark im Vorteil
> Mach das doch lieber mit den Sylowschen Saetzen, dann hast du es
> eigentlich sofort da stehen :)
Kenn ich nicht, werd ich mir dann aber wohl mal anschauen...
> Jetzt wunder ich mich allerdings. Für $ [mm] U_1 [/mm] $ habe ich mir ein
> l aus L genommen (mit $ [mm] l=x+ya_1+ua_2+va_3; [/mm] $ x,y,u,v $ [mm] \in \IQ) [/mm] $
> Der $ [mm] \IQ [/mm] $-Vektorraum $ L $ hat die Dimension $ 6 $. Insofern erwischt > du so nicht alle Elemente. (Eigentlich muesstest du auch noch
> begruenden, das $ 1, [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] $ linear unabhaengig ueber $ [mm] \IQ [/mm] $ > sind. Wenn sie dies nicht waeren, koennte die Galoisgruppe allerdings
> nicht isomorph zu $ [mm] S_3 [/mm] $ sein da Abhaengigkeiten beruecksichtigt
> werden muessten.)
Hmmm... meine Begründung hier wäre sonst gewesen, dass die Galoisgruppe doch die Nullstellen vertauscht und deswegen ich auch nur [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_3 [/mm] hergenommen, um die Elemente zu beschreiben *seufz*
Aber ich sehe das Problem. Ist dieser ein wenig umständliche Weg denn der einzige, um die Teilkörper auszurechnen? Oder gibt es da noch einen Satz den ich mal wieder nicht kenne?
So oder so freue ich mich - mal wieder - über alle gegebenen hilfreichen Antworten. Wer Interesse daran hat, einem Problemfall auch aus diesem Wissensloch weiterzuhelfen, kann sich ja gerne noch melden
Gruß
San
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo San!
> Einige der GEdanken, hatte ich mir in der zwischenzeit
> selbst gemacht, andere nicht.
>
> > Es ist ja [mm]L = \IQ(\sqrt[3]{2}, i \sqrt{3})[/mm]. Dann ist eine
> > [mm]\IQ[/mm]-Basis gegeben durch [mm]1[/mm], [mm]\sqrt[3]{2}[/mm], [mm]\sqrt[3]{2}^2[/mm], [mm]i \sqrt{3}[/mm],
> > [mm]i \sqrt[3]{2} \sqrt{3}[/mm], [mm]i \sqrt[3]{2}^2 \sqrt{3}[/mm]. (Weisst
> > du warum?)
> Ja, ich weiß warum und dieser Gedanke gehört zu den
> eigenständig gemachten, allerdings hatte ich das schon
> gleich zu anfang ausgerechnet (wenn vll auch nicht
> besonders deutlich gemacht, dass dieser Teil der Aufgabe
> klar ist) Allerdings habe ich es auch nicht besonders
> mit dem formellen aufschreiben solcher "Kleinigkeiten"
Ich hatte das eigentlich nur wegen dem ganz unten gepostet, um sicher zu gehen dass du weisst wie eine Basis aussieht :)
> > Mach das doch lieber mit den Sylowschen Saetzen, dann hast
> du es
> > eigentlich sofort da stehen :)
>
> Kenn ich nicht, werd ich mir dann aber wohl mal
> anschauen...
Wenn man sie (noch) nicht kennt kommt man mit ihnen nicht viel schneller zum Ziel wie mit deinen direkten Argumenten. Wenn man sie dagegen kennt sieht man sofort das du schon alle Untergruppen gefunden hat und somit ist das etwas schneller/eleganter
> > Jetzt wunder ich mich allerdings. Für [mm]U_1[/mm] habe ich mir ein
> > l aus L genommen (mit [mm]l=x+ya_1+ua_2+va_3;[/mm] x,y,u,v [mm]\in \IQ)[/mm]
>
> > Der [mm]\IQ [/mm]-Vektorraum [mm]L[/mm] hat die Dimension [mm]6 [/mm]. Insofern
> erwischt > du so nicht alle Elemente. (Eigentlich muesstest
> du auch noch
> > begruenden, das [mm]1, a_1, a_2, a_3[/mm] linear unabhaengig ueber
> [mm]\IQ[/mm] > sind. Wenn sie dies nicht waeren, koennte die
> Galoisgruppe allerdings
> > nicht isomorph zu [mm]S_3[/mm] sein da Abhaengigkeiten
> beruecksichtigt
> > werden muessten.)
>
> Hmmm... meine Begründung hier wäre sonst gewesen, dass die
> Galoisgruppe doch die Nullstellen vertauscht und deswegen
Ja, das stimmt, aber das bedeutet nicht, dass die Nullstellen eine [mm] $\IQ$-Basis [/mm] von $L/K$ bilden und du somit jedes Element durch eine [mm] $\IQ$-Linearkombination [/mm] ausdruecken kannst!
> Aber ich sehe das Problem. Ist dieser ein wenig
> umständliche Weg denn der einzige, um die Teilkörper
> auszurechnen? Oder gibt es da noch einen Satz den ich mal
> wieder nicht kenne?
Ich schaetze mal es ist der einzige Weg, der allgemein funktioniert... Wenn du nicht grad mit `scharfem Hinsehen' arbeiten willst
Ich vermute uebrigens, dass die Zwischenkoerper gerade [mm] $\IQ$, $\IQ(a_1)$, $\IQ(a_2)$, $\IQ(a_3)$, $\IQ(i \sqrt{3})$ [/mm] und $L$ sind. (Wenn du zeigen kannst, dass diese paarweise verschieden sind, bist du fertig; dann muesstest du nur noch zeigen, welcher Zwischenkoerper zu welcher Gruppe gehoert -- soweit das denn gefordert war.)
LG Felix
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