Galoisgruppe, op. transitiv < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie: Wenn K Körper, f [mm] $\in K[X]\K$ [/mm] mit einfachen Nullstellen und L der Zerfällungskörper von f ist, dann sind äquivalent:
f irreduzibel [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] die K-Automorphismengruppe von L operiert transitiv auf den Nullstellen von f. |
Hallo,
von rechts nach links kann man so argumentieren:
Annahme: f reduzibel.
$f = c*g*h$ mit $c [mm] \in [/mm] K \ g,h [mm] \in [/mm] K[x].$ und $g(x) = [mm] (x-a_1)...(x-a_m), [/mm] h(x) = [mm] (x-a_{m+1})...(x-a_n).$
[/mm]
gäbe es jetzt ein [mm] $\sigma \in Aut_K(L)$ [/mm] mit [mm] $\sigma(a_1) [/mm] = [mm] \sigma(a_{m+1})$ [/mm] würde gelten:
[mm] $h(a_1) \neq [/mm] 0$ (versch. Nullstellen) aber [mm] $\sigma(h(a_1))=h(\sigma(a_1)) [/mm] = [mm] h(a_{m+1})=0_$ [/mm] Widerspruch.
Aber was mache ich in der anderen Richtung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Do 14.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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