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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:07 Do 17.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Galoisgruppen folgender Poynome:
(i) [mm] X^4-X^2-3 \in \IF_5[X]$
[/mm]
(ii) [mm] X^4+7X^2-3 \in \IF_{13}[X]$ [/mm] |
Hallo,
ich würde gerne wissen, ob meine Antwort so stimmt.
(i) Es ist $f = [mm] X^4-X^2-3 [/mm] = [mm] (X^2-3)^2-2$
[/mm]
Es ist jedoch 2 kein Quadrat in [mm] $\IF_5$ [/mm] (kann man das anders rausbekommen, als alle Quadrate nachzurechnen? hier noch kein Problem, aber später bei [mm] $\IF_{13}$ [/mm] zeitaufwändig, obwohl man natürlich immer nur die Hälfte ausrechnen muss)
Damit sind die Nullstellen: [mm] $\alpha:=\sqrt{3+\sqrt{2}},-\sqrt{3+\sqrt{2}}, \beta:=\sqrt{3-\sqrt{2}}, -\sqrt{3-\sqrt{2}}$
[/mm]
[mm] $f\:$ [/mm] hat also keine Nullstelle in [mm] $\IF_5$ [/mm] und ist somit irreduzibel, da auch kein Produkt zweier Linearfaktoren aus [mm] $(X-\alpha), (X+\alpha), (X-\beta),(X+\beta)$ [/mm] in [mm] $\IF_5[X]$ [/mm] liegt. Also gibt $f = [mm] min_{\IF_5}(\alpha) \Rightarrow [\IF_5(\alpha):\IF_5]=4$.
[/mm]
Nun liegt [mm] $\beta$ [/mm] nicht in [mm] $\IF_5$, [/mm] aber [mm] $\beta$ [/mm] ist Nullstelle des Polynoms [mm] $X^2+\alpha^2-1 \in \IF_5(\alpha)[X]$, [/mm] damit [mm] $[L:\IF_5]=8$, [/mm] wenn [mm] $L\:$ [/mm] den Zerfällungskörper von [mm] $f\:$ [/mm] über [mm] $\IF_5$ [/mm] bezeichnet.
Da [mm] $f\:$ [/mm] irreduzibel ist, operiert [mm] $Gal(L/\IF_5)$ [/mm] transitiv auf der Nullstellenmenge. Bezeichne [mm] $\sigma$ [/mm] den Galoisautomorphismus mit [mm] $\alpha \mapsto \beta, \beta \mapsto -\alpha \Rightarrow \;ord\:\sigma [/mm] = 4$. [mm] $\tau: \alpha \mapsto -\alpha, \beta \mapsto -\beta \Rightarrow \;ord\:\tau [/mm] = 2$
Weiterhin kann man zeigen [mm] $\tau\sigma [/mm] = [mm] \sigma^3\tau$
[/mm]
Damit hat die Galoisgruppe folgende Gestalt: [mm] $Gal(L/\IF_5) [/mm] = [mm] <\sigma, \tau\:|\:\sigma^4=\tau^2=id, \tau\sigma=\sigma^3\tau> [/mm] = [mm] \{id, \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau\}$
[/mm]
(ii) $f = [mm] X^4+7X^2-3 [/mm] = [mm] (X^2-3)^2-12$
[/mm]
12 ist ein Quadrat in [mm] $\IF_{13}$, [/mm] da [mm] $5^2=25=12, 8^2=64=12$. [/mm] Damit sind Die Nullstellen von [mm] $f\:$ [/mm] in einem algebraischen Abschluss [mm] $\alpha=\sqrt{3+5}=\sqrt{8}, -\alpha, \beta=\sqrt{3+8}=\sqrt{11}, -\beta$.
[/mm]
11 und 8 sind keine Quadrate in [mm] $\IF_{13}$.
[/mm]
Es ist also [mm] $[\IF_{13}(\beta):\IF_{13}]=2$, [/mm] und es gilt [mm] $(3\sqrt{11})^2 [/mm] = 99 = 8$, also enthält [mm] $\IF_{13}(\beta)$ [/mm] bereits eine Wurzel von 8, und ist somit bereits der gesuchte Zerfällungskörper. Die dazugehörige Galoisgruppe ist dann [mm] $\IZ/2\IZ$.
[/mm]
Stimmt das?
Vielen Dank für die Hilfe!
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Do 17.03.2011 | | Autor: | wieschoo |
> Bestimmen Sie die Galoisgruppen folgender Poynome:
> (i) [mm]X^4-X^2-3 \in \IF_5[X]$[/mm]
> (ii) [mm]X^4+7X^2-3 \in \IF_{13}[X]$[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich würde gerne wissen, ob meine Antwort so stimmt.
>
> (i) Es ist [mm]f = X^4-X^2-3 = (X^2-3)^2-2[/mm]
> Es ist jedoch 2
> kein Quadrat in [mm]\IF_5[/mm] (kann man das anders rausbekommen,
> als alle Quadrate nachzurechnen? hier noch kein Problem,
> aber später bei [mm]\IF_{13}[/mm] zeitaufwändig, obwohl man
> natürlich immer nur die Hälfte ausrechnen muss)
> Damit sind die Nullstellen:
> [mm]\alpha:=\sqrt{3+\sqrt{2}},-\sqrt{3+\sqrt{2}}, \beta:=\sqrt{3-\sqrt{2}}, -\sqrt{3-\sqrt{2}}[/mm]
>
> [mm]f\:[/mm] hat also keine Nullstelle in [mm]\IF_5[/mm] und ist somit
> irreduzibel, da auch kein Produkt zweier Linearfaktoren aus
> [mm](X-\alpha), (X+\alpha), (X-\beta),(X+\beta)[/mm] in [mm]\IF_5[X][/mm]
> liegt. Also gibt [mm]f = min_{\IF_5}(\alpha) \Rightarrow [\IF_5(\alpha):\IF_5]=4[/mm].
>
> Nun liegt [mm]\beta[/mm] nicht in [mm]\IF_5[/mm], aber [mm]\beta[/mm] ist Nullstelle
> des Polynoms [mm]X^2+\alpha^2-1 \in \IF_5(\alpha)[X][/mm], damit
> [mm][L:\IF_5]=8[/mm], wenn [mm]L\:[/mm] den Zerfällungskörper von [mm]f\:[/mm] über
> [mm]\IF_5[/mm] bezeichnet.
> Da [mm]f\:[/mm] irreduzibel ist, operiert [mm]Gal(L/\IF_5)[/mm] transitiv
> auf der Nullstellenmenge. Bezeichne [mm]\sigma[/mm] den
> Galoisautomorphismus mit [mm]\alpha \mapsto \beta, \beta \mapsto -\alpha \Rightarrow \;ord\:\sigma = 4[/mm].
> [mm]\tau: \alpha \mapsto -\alpha, \beta \mapsto -\beta \Rightarrow \;ord\:\tau = 2[/mm]
>
> Weiterhin kann man zeigen [mm]\tau\sigma = \sigma^3\tau[/mm]
> Damit
> hat die Galoisgruppe folgende Gestalt: [mm]Gal(L/\IF_5) = <\sigma, \tau\:|\:\sigma^4=\tau^2=id, \tau\sigma=\sigma^3\tau> = \{id, \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau\}[/mm]
Dieedergruppe habe ich auch hier heraus.
>
> (ii) [mm]f = X^4+7X^2-3 = (X^2-3)^2-12[/mm]
> 12 ist ein Quadrat in
> [mm]\IF_{13}[/mm], da [mm]5^2=25=12, 8^2=64=12[/mm]. Damit sind Die
> Nullstellen von [mm]f\:[/mm] in einem algebraischen Abschluss
> [mm]\alpha=\sqrt{3+5}=\sqrt{8}, -\alpha, \beta=\sqrt{3+8}=\sqrt{11}, -\beta[/mm].
>
> 11 und 8 sind keine Quadrate in [mm]\IF_{13}[/mm].
> Es ist also [mm][\IF_{13}(\beta):\IF_{13}]=2[/mm], und es gilt
> [mm](3\sqrt{11})^2 = 99 = 8[/mm], also enthält [mm]\IF_{13}(\beta)[/mm]
> bereits eine Wurzel von 8, und ist somit bereits der
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> gesuchte Zerfällungskörper. Die dazugehörige
> Galoisgruppe ist dann [mm]\IZ/2\IZ[/mm].
Meines Erachtens gibt es hier auch nur den Automorphismus [mm] $\beta \mapsto -\beta$ [/mm] und die Identität.
>
> Stimmt das?
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
>
> LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Do 17.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
nur kurz:
> Damit
> > hat die Galoisgruppe folgende Gestalt: [mm]Gal(L/\IF_5) = <\sigma, \tau\:|\:\sigma^4=\tau^2=id, \tau\sigma=\sigma^3\tau> = \{id, \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau, \sigma^3\tau\}[/mm]
>
> Dieedergruppe habe ich auch hier heraus.
Erweiterungen endlicher Koerper sind immer Galoiserweiterungen mit zyklischer Galoisgruppe. Die Diedergruppe kann es also nicht sein :)
Hat man $L / K$ mit $|K| = q$, so ist [mm] $\sigma [/mm] : x [mm] \mapst x^q$ [/mm] ein Erzeuger von $Gal(L/K)$ und $Gal(L/K)$ hat die Ordnung $[L : K]$.
Ich hab heute nicht wirklich Zeit, deswegen nur diese kurze Anmerkung.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Do 17.03.2011 | | Autor: | statler |
Hallo Felix,
ich wollte vor Sekunden gerade wortwörtlich dasselbe schreiben, inklusive der Bemerkung über den Zeitmangel.
Gruß aus Hamburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Do 17.03.2011 | | Autor: | wieschoo |
> Erweiterungen endlicher Koerper sind immer
> Galoiserweiterungen mit zyklischer Galoisgruppe. Die
> Diedergruppe kann es also nicht sein :)
Ahh ... den Satz hatte ich auch irgendwo.
Deswegen war es auch nur eine Mitteilung und keine Antwort. In [mm]\IQ[/mm] wäre es aber die [mm]D_4[/mm]
Ich glaube da hilft der Frobeniusautomorphismus weiter. Wenn [mm] $\alpha$ [/mm] eine Nullstelle ist, dann unser Erzeuger [mm] $\sigma [/mm] : [mm] \alpha \mapsto \alpha^5$
[/mm]
Konkret sind Nullstellen [mm] $\alpha^{5^0},\alpha^{5^1},\alpha^{5^2},\alpha^{5^3}$ [/mm] mit [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sqrt{3+\sqrt{2}}$
[/mm]
Ich habs auch getestet, jede davon ist in [mm] $\IF_5$ [/mm] eine Nullstelle vom Polynom f. Also zyklisch  mit dem Erzeuger [mm] $\sigma$ [/mm]
???
Der Zerfällungskörper müsste dann [mm] $\IF_5 [/mm] / [mm] (x^4-x^2+3)\cong \IF_{625}$ [/mm] sein
edit: (5. Nullstelle entfernt. )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:34 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
danke für eure Antworten. Dass endliche Erweiterungen endlicher Körper immer vom relativen Frobeniushomomorphismus erzeugt werden und damit zyklisch sind, hatte ich gestern sogar noch gezeigt. Dass ich dann daran nicht denke... ärgerlich.
Mich wunderten erst die 5 Nullstellen, die du hast, wieschooo, wir habe ja ein Polynom vom Grad 4, aber wenn der Zerfällungskörper wirklich [mm] $\IF_{625}$ [/mm] ist, dann ist ja [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \alpha^{5^4}$, [/mm] da der Körper ja gerade durch die Nullstellen von [mm] $X^{5^4}-X$ [/mm] über [mm] $\IF_5$ [/mm] erzeugt wird. Damit gilt ja dann für $a [mm] \in \IF_{5^4}: a^{5^4}=a$.
[/mm]
Dass was ich [mm] $\beta$ [/mm] genannt habe, lag wohl schon in [mm] $\IF_5(\alpha)$.
[/mm]
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Fr 18.03.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ne da habe ich mich auch verrechnet. Wenn es ein Polynom vom Grad 4 ist dann sind es auch nur diese 4 Nullstellen.
Also ich hatte einfach nur [mm] $b_n:=\alpha^{5^n}$ [/mm] gesetzt und dann für n=0,1,2,3 die vier Nullstellen erhalten. Damit entfällt n=4.
*schwere Geburt* ![[uhh]](/images/smileys/uhh.gif "[uhh]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Sa 19.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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