Galoisgrupppe isomorph zu Z/9Z < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Fr 24.02.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | | Gesucht ist ein Körper L, sodass die Galoisgruppe der Körpererweiterung L | Q isomorph zu Z/9Z ist. |
Hallo, soweit ist mir klar wie ich vorgehen muss. Ich nehm mir den 19 -ten Kreisteilungskörper. Der hat Ordnung 18. Entprechend gibt es eine Untergruppe der Ordnung 2, die dann bijektiv einem Zwischenkörper der Körpererweiterung L | Q ist. Die Untergruppe der Ordnung 2 ist [mm] <\phi> [/mm] mit [mm] \phi [/mm] bildet die 19-te Einheitswurzel auf ihre zehnte Potenz ab. Soweit so gut. Meine Problem: Ich weiß nun nicht, wie der Fixkörper dieser Untergruppe ausschaut.
Danke euch!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Mo 27.02.2012 | | Autor: | hippias |
Vielleicht hilft es Dir, dass [mm] $\phi$ [/mm] gleichzeitig auch der Bildung der konjugiert komplexen Zahl entspricht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Mo 27.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gesucht ist ein Körper L, sodass die Galoisgruppe der
> Körpererweiterung L | Q isomorph zu Z/9Z ist.
>
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> Hallo, soweit ist mir klar wie ich vorgehen muss. Ich nehm
> mir den 19 -ten Kreisteilungskörper. Der hat Ordnung 18.
> Entprechend gibt es eine Untergruppe der Ordnung 2, die
> dann bijektiv einem Zwischenkörper der Körpererweiterung
> L | Q ist. Die Untergruppe der Ordnung 2 ist [mm]<\phi>[/mm] mit
> [mm]\phi[/mm] bildet die 19-te Einheitswurzel auf ihre zehnte Potenz
> ab.
Das bezweifle ich: [mm] $\phi$ [/mm] bildet sie nicht auf die 10-te Potenz ab, sondern auf die 17-te.
> Soweit so gut. Meine Problem: Ich weiß nun nicht, wie
> der Fixkörper dieser Untergruppe ausschaut.
Du kannst dir folgendes ueberlegen: ist $L = [mm] \IQ(\alpha)$, [/mm] so ist $K := [mm] \IQ(\alpha \phi(\alpha), \alpha [/mm] + [mm] \phi(\alpha))$ [/mm] ein Unterkoerper von $L$ mit $[L : K] [mm] \le [/mm] 2$, der im Fixkoerper von [mm] $\phi$ [/mm] enthalten ist. Daraus folgt, dass es bereits der Fixkoerper sein muss.
In diesem Fall ist [mm] $\alpha \phi(\alpha)$ [/mm] ein Element aus [mm] $\IQ$.
[/mm]
(Mit $Q$ meinst du schon [mm] $\IQ$, [/mm] oder?)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mo 27.02.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, danke für die Antwort
> Das bezweifle ich: [mm]\phi[/mm] bildet sie nicht auf die 10-te
> Potenz ab, sondern auf die 17-te.
Ok stimmt. Aber, wenn [mm] \phi(\zeta_{19}) [/mm] = [mm] \zeta_{19}^{10} [/mm] gilt dann folgt doch [mm] \phi^2(\zeta_{19}) [/mm] = [mm] \phi(\phi(\zeta_{19})) [/mm] = [mm] \phi(\zeta_{19}^{10}) [/mm] = [mm] \zeta^{10^{2}} [/mm] = [mm] \zeta^{5} [/mm] oder hab ich jetzt nen denkfehler? Ich hab nochmal nachgerechnet. Für [mm] \phi(\zeta_{19}) [/mm] = [mm] \zeta_{19}^{18} [/mm] gilt [mm] \phi^2(\zeta_{19}) [/mm] = [mm] \phi(\phi(\zeta_{19})) [/mm] = [mm] \phi(\zeta_{19}^{18}) [/mm] = [mm] \zeta_{19}^{18^{2}} [/mm] = [mm] \zeta_{19}. [/mm] Stimmt das? Gibt es einen Trick wie man das schnell sieht?
> Du kannst dir folgendes ueberlegen: ist [mm]L = \IQ(\alpha)[/mm], so
> ist [mm]K := \IQ(\alpha \phi(\alpha), \alpha + \phi(\alpha))[/mm]
> ein Unterkoerper von [mm]L[/mm] mit [mm][L : K] \le 2[/mm], der im Fixkoerper
Ist das immer so?
> von [mm]\phi[/mm] enthalten ist. Daraus folgt, dass es bereits der
> Fixkoerper sein muss.
>
> In diesem Fall ist [mm]\alpha \phi(\alpha)[/mm] ein Element aus
> [mm]\IQ[/mm].
Entschuldige, ich verstehs glaub ich nicht? Bedeutet das, dass mein [mm] \alpha [/mm] dann [mm] \zeta_{19} [/mm] ist, wegen L = [mm] \IQ(\zeta_{19}) [/mm] und mein [mm] \phi [/mm] ist dann der Automorphismus der [mm] \zeta_{19} [/mm] auf [mm] \zeta_{19}^{18} [/mm] abbildet, dann ist mein Zwischenkörper also [mm] \IQ(\zeta_{19} [/mm] + [mm] \phi(\zeta_{19}) [/mm] mit [mm] [\IQ(\zeta_{19},\phi(\zeta_{19}):\IQ] [/mm] = 9? Wie beweise ich das der Grad 9 ist?
>
> (Mit [mm]Q[/mm] meinst du schon [mm]\IQ[/mm], oder?)
Ja.
>
> LG Felix
>
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Mo 27.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, danke für die Antwort
>
> > Das bezweifle ich: [mm]\phi[/mm] bildet sie nicht auf die 10-te
> > Potenz ab, sondern auf die 17-te.
>
> Ok stimmt. Aber, wenn [mm]\phi(\zeta_{19})[/mm] = [mm]\zeta_{19}^{10}[/mm]
> gilt dann folgt doch [mm]\phi^2(\zeta_{19})[/mm] =
> [mm]\phi(\phi(\zeta_{19}))[/mm] = [mm]\phi(\zeta_{19}^{10})[/mm] =
> [mm]\zeta^{10^{2}}[/mm] = [mm]\zeta^{5}[/mm] oder hab ich jetzt nen
> denkfehler? Ich hab nochmal nachgerechnet. Für
> [mm]\phi(\zeta_{19})[/mm] = [mm]\zeta_{19}^{18}[/mm] gilt [mm]\phi^2(\zeta_{19})[/mm]
> = [mm]\phi(\phi(\zeta_{19}))[/mm] = [mm]\phi(\zeta_{19}^{18})[/mm] =
> [mm]\zeta_{19}^{18^{2}}[/mm] = [mm]\zeta_{19}.[/mm] Stimmt das?
Ja, das stimmt so.
> Gibt es einen Trick wie man das schnell sieht?
Falls du einen Koerper hast, der nicht komplett in [mm] $\IR$ [/mm] enthalten ist, so hast du immer die komplexe Konjugation (und falls es eine Galoiserweiterung von einem Teilkoerper von [mm] $\IR$ [/mm] ist, etwa von [mm] $\IQ$, [/mm] so induziert diese einen Automorphismus). Diese gibt immer einen Automorphismus von Ordnung 2. Da es in der Galoisgruppe hier nur einen solchen geben kann, muss [mm] $\phi$ [/mm] gleich der komplexen Konjugation sein.
Und da [mm] $|\zeta_{19}| [/mm] = 1$ ist gilt [mm] $\overline{\zeta_{19}} [/mm] = [mm] \zeta_{19}^{-1} [/mm] = [mm] \zeta_{19}^{18}$. [/mm] (Das erste Gleichheitszeichen gilt fuer alle komplexen Zahlen von Betrag 1.)
> > Du kannst dir folgendes ueberlegen: ist [mm]L = \IQ(\alpha)[/mm], so
> > ist [mm]K := \IQ(\alpha \phi(\alpha), \alpha + \phi(\alpha))[/mm]
> > ein Unterkoerper von [mm]L[/mm] mit [mm][L : K] \le 2[/mm], der im Fixkoerper
>
> Ist das immer so?
Bei Grad 2? Ja.
> > von [mm]\phi[/mm] enthalten ist. Daraus folgt, dass es bereits der
> > Fixkoerper sein muss.
> >
> > In diesem Fall ist [mm]\alpha \phi(\alpha)[/mm] ein Element aus
> > [mm]\IQ[/mm].
>
> Entschuldige, ich verstehs glaub ich nicht? Bedeutet das,
> dass mein [mm]\alpha[/mm] dann [mm]\zeta_{19}[/mm] ist, wegen L =
> [mm]\IQ(\zeta_{19})[/mm] und mein [mm]\phi[/mm] ist dann der Automorphismus
> der [mm]\zeta_{19}[/mm] auf [mm]\zeta_{19}^{18}[/mm] abbildet, dann ist mein
> Zwischenkörper also [mm]\IQ(\zeta_{19}[/mm] + [mm]\phi(\zeta_{19})[/mm] mit
> [mm][\IQ(\zeta_{19},\phi(\zeta_{19}):\IQ][/mm] = 9?
Ja.
> Wie beweise ich das der Grad 9 ist?
Wenn du oben allgemein das gezeigt hast (das was ich mit [mm] $\alpha$ [/mm] schrieb), dann folgt $[L : [mm] \IQ(\zeta_{19} [/mm] + [mm] \zeta_{19}^{18})] [/mm] = 2$, und mit dem Multiplikationssatz fuer Koerpergrade folgt dann [mm] $[\IQ(\zeta_{19} [/mm] + [mm] \zeta_{19}^{18}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = [mm] \frac{[L : \IQ]}{2} [/mm] = 9$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Mo 27.02.2012 | | Autor: | teo |
Vielen Dank! Das hilft mir schonmal wirklich weiter!
Eine Frage hätte ich aber noch.
Wie ist denn der Ansatz für diesen allgemeinen Beweis?
>
> Wenn du oben allgemein das gezeigt hast (das was ich mit
> [mm]\alpha[/mm] schrieb), dann folgt [mm][L : \IQ(\zeta_{19} + \zeta_{19}^{18})] = 2[/mm],
Oder wie könnte ich das jetzt konkret für dieses Beispiel nachweisen? Mit Minimalpolynom?
Danke schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Mo 27.02.2012 | | Autor: | teo |
So ich versuch mich mal an dem konkreten Beweis. Zu zeigen [mm] [\IQ(\zeta_{19}):\IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1})]=2
[/mm]
Angenommen [mm] \zeta \in \IQ(\zeta+\zeta^{-1}), [/mm] dann existieren Polynome p,q [mm] \in \IQ[x] [/mm] mit q [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] \zeta [/mm] = [mm] \bruch{p(\zeta + \zeta^{-1})}{q(\zeta +\zeta^{-1})} [/mm] also
[mm] q(\zeta+\zeta^{-1})\zeta [/mm] = [mm] p(\zeta+\zeta^{-1}), [/mm] da q [mm] \not= [/mm] 0 ist, folgt durch Vergleich der höchsten Potenzen von [mm] \zeta, [/mm] dass deg(q) = deq(p)-1 gelten muss. Aus dem Vergleich der niedrigsten Potenzen folgt aber deg(q) = deg(p)+1 Widerspruch!
Nun ist [mm] \zeta [/mm] Nullstelle des Polynoms [mm] x^2 [/mm] - [mm] (\zeta+\zeta^{-1})x [/mm] + 1 [mm] \in \IQ(\zeta +\zeta^{-1})[x] [/mm] und es folgt die Behauptung: [mm] [\IQ(\zeta_{19}):\IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1})]=2
[/mm]
Insgesamt ist also [mm] \zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1} \in L_{U} \subseteq \IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1}) [/mm] (wobei [mm] L_{U} [/mm] der Fixkörper der Untergruppe der Ordnung 2 ist), da mit der Gradformel folgt, dass [mm] [\IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1}):\IQ] [/mm] = 9 ist gilt [mm] L_{U}= \IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1}) [/mm] und [mm] Gal(\IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1}) [/mm] | [mm] \IQ) \cong \IZ/9\IZ.
[/mm]
Stimmt das so? Geht das einfacher?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Mo 27.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Vielen Dank! Das hilft mir schonmal wirklich weiter!
>
> Eine Frage hätte ich aber noch.
>
> Wie ist denn der Ansatz für diesen allgemeinen Beweis?
Du musst zeigen:
(a) [mm] $\alpha$ [/mm] erfuellt ueber $K$ eine Gleichung von Grad 2. Daraus folgt $[L : K] [mm] \le [/mm] 2$.
(b) die Erzeuger von $K$ werden von [mm] $\phi$ [/mm] festgehalten. Daraus folgt: $K$ liegt im Fixkoerper von [mm] $\langle \phi \rangle$, [/mm] womit insbesondere $K [mm] \subsetneqq [/mm] L$ gilt.
> > Wenn du oben allgemein das gezeigt hast (das was ich mit
> > [mm]\alpha[/mm] schrieb), dann folgt [mm][L : \IQ(\zeta_{19} + \zeta_{19}^{18})] = 2[/mm],
>
> Oder wie könnte ich das jetzt konkret für dieses Beispiel
> nachweisen? Mit Minimalpolynom?
Das ist sehr mühsam. Das Minimalpolynom hat schliesslich Grad 9.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 27.02.2012 | | Autor: | teo |
Stimmt denn mein Vorschlag (siehe oben), damit umgeht man ja die Problematik mit dem Minimalpolynom.
Vielen Dank für die Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Mo 27.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> So ich versuch mich mal an dem konkreten Beweis. Zu zeigen
> [mm][\IQ(\zeta_{19}):\IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1})]=2[/mm]
>
> Angenommen [mm]\zeta \in \IQ(\zeta+\zeta^{-1}),[/mm] dann existieren
> Polynome p,q [mm]\in \IQ[x][/mm] mit q [mm]\not=[/mm] 0 und [mm]\zeta[/mm] =
> [mm]\bruch{p(\zeta + \zeta^{-1})}{q(\zeta +\zeta^{-1})}[/mm] also
> [mm]q(\zeta+\zeta^{-1})\zeta[/mm] = [mm]p(\zeta+\zeta^{-1}),[/mm] da q [mm]\not=[/mm]
> 0 ist, folgt durch Vergleich der höchsten Potenzen von
> [mm]\zeta,[/mm] dass deg(q) = deq(p)-1 gelten muss. Aus dem
> Vergleich der niedrigsten Potenzen folgt aber deg(q) =
> deg(p)+1 Widerspruch!
Moment, ganz so einfach geht das nicht. Wenn [mm] $\zeta$ [/mm] eine Unbestimmte wäre, wär das so ok. Aber es gilt [mm] $\zeta^19 [/mm] = 1$, womit das Argument so nicht wirklich funktioniert.
> Nun ist [mm]\zeta[/mm] Nullstelle des Polynoms [mm]x^2[/mm] -
> [mm](\zeta+\zeta^{-1})x[/mm] + 1 [mm]\in \IQ(\zeta +\zeta^{-1})[x][/mm] und
> es folgt die Behauptung:
> [mm][\IQ(\zeta_{19}):\IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1})]=2[/mm]
Der Teil stimmt (wenn man [mm] $\zeta_{19} \not\in \IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1})$ [/mm] annimmt).
> Insgesamt ist also [mm]\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1} \in L_{U} \subseteq \IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1})[/mm]
Naja, das [mm] $\subseteq$ [/mm] willst du ja noch zeigen, erstmal hast du nur [mm] $\supseteq$.
[/mm]
> (wobei [mm]L_{U}[/mm] der Fixkörper der Untergruppe der Ordnung 2
> ist), da mit der Gradformel folgt, dass
> [mm][\IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1}):\IQ][/mm] = 9 ist gilt [mm]L_{U}= \IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1})[/mm]
> und [mm]Gal(\IQ(\zeta_{19}+\zeta_{19}^{-1})[/mm] | [mm]\IQ) \cong \IZ/9\IZ.[/mm]
>
> Stimmt das so? Geht das einfacher?
Der Rest ist ok, wenn auch etwas knapp argumentiert.
LG Felix
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