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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Mi 07.06.2006 | | Autor: | benta |
| Aufgabe | Man berechne fü p>-1 und q>-1:
[mm] \integral_{-1}^{1}{(1-x)^{p}(1+x)^{q} dx}
[/mm]
und zeige damit:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{\bruch{1-x}{1+x}} dx} [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
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Ich weiß nicht recht wie ich das Integral umformen soll, es müsste ja eine Gammafunktion herauskommen, oder?
Bitte um Hilfe, Danke.
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Die Frage ist schwierig zu beantworten, da man nicht weiß, welche Relationen durch die Vorlesung vorausgesetzt werden dürfen. Jedenfalls führt die Substitution [mm]x = 2u-1 , \ \mathrm{d}x = 2 \, \mathrm{d}u[/mm] das Integral über in
[mm]\int_{-1}^1~(1-x)^p (1+x)^q~\mathrm{d}x = 2^{p+q+1} \int_0^1~(1-u)^p u^q~\mathrm{d}u[/mm]
Und gemäß ![[]](/images/popup.gif) Formel (18) und Formel (1) folgt
[mm]\int_{-1}^1~(1-x)^p (1+x)^q~\mathrm{d}x = 2^{p+q+1} \frac{\Gamma(p+1) \Gamma(q+1)}{\Gamma(p+q+2)}[/mm]
Und jetzt setze hierin [mm]p = \frac{1}{2} , \ q = - \frac{1}{2}[/mm] und verwende die Funktionalgleichung [mm]\Gamma(x) = (x-1) \Gamma(x-1)[/mm] sowie [mm]\Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}[/mm] und [mm]\Gamma(n) = (n-1)![/mm] zur Berechnung des Terms.
Du mußt jetzt selber herausfinden, welche von den aufgeführten Relationen du bereits verwenden darfst. Eventuell mußt du gewisse von diesen Umformungen noch beweisen. Hinweise, wie das gehen könnte, findest du unter dem obigen Link sowie bei den Formeln der Gamma-Funktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Mi 07.06.2006 | | Autor: | benta |
Vielen Dank, das hilft mir sehr. Danke auch für den Link, die Seite ist super.
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