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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Es sei X [mm] \sim \Gamma(n,\beta) [/mm] und Y [mm] \sim Pois(x\beta) [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und x > 0. Zeigen Sie, dass
[mm] \IP(X \le x)=\IP(Y \ge [/mm] n).
Hinweis: Es gilt [mm] \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)!. [/mm] Induktion nach n. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe komme ich nicht so richtig weiter..
Ich habe bis jetzt die Ansätze:
X [mm] \sim \Gamma(n,\beta) \Rightarrow [/mm] Dichtefunktion f(x)= [mm] \bruch{\beta^{n}}{\Gamma(n)}x^{n-1}e^{-\beta x}, [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0, sowie 0, wenn x < 0
Verteilungsfunktion F(x)= Konnte ich mir noch nicht so richtig zusammenstellen
P(X [mm] \le [/mm] x)= F(x) - [mm] F(-\infty)
[/mm]
Y [mm] \sim Pois(x\beta) \Rightarrow [/mm] Verteilungsfunktion [mm] F_{x\beta}(n)= e^{-x\beta}\summe_{k=0}^{n}\bruch{\lambda^{k}}{k!}
[/mm]
P(Y [mm] \ge [/mm] n)= [mm] F(\infty)-F(n) [/mm] = 1-F(n)
Nur irgendwie weiss ich nicht so richtig weiter, wie man hier auch die Induktion zum laufen kriegt.
Würde mich über Rückmeldungen freuen!
LG 
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Hallo und guten Abend,
fang doch erstmal damit an die Hinweise zu bearbeiten.
Zeige also zunächst [mm] $\Gamma(n)=(n-1)!$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$. [/mm] Den Induktionsanfang mache ich dir mal vor, danach kannst du ja mal versuchen, den Induktionsschritt hinzubekommen.
n=1:
Sei $X [mm] \sim (1,\beta)$ [/mm] und $x>0$ fest. Weiter sei $Y [mm] \sim Poi(x\beta)$
[/mm]
[mm] $P(X\leq x)=\int\limits_{0}^{x}\beta \cdot e^{-\beta\cdot t} \; dt=-e^{-\beta\cdot x}+1=P(Y\geq [/mm] 1)=1-P(Y=0)$
Jetzt versuch mal, die Induktionsvoraussetzung und den induktionsschritt hinzubekommen.
Viele Grüße
Blasco
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