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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Do 04.10.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo,
die Gammafunktion ist ja wie folgt definiert:
[mm]\Gamma (x)=\int_0^{\infty}\exp(-t)t^{x-1}dt[/mm]
warum ist nun für positive Konstanten [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
[mm]\int_0^{\infty}\exp(-c_1y)y^{c_2-1}dy=c_1^{-c_2}\Gamma (c_2)[/mm]
vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Do 04.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> die Gammafunktion ist ja wie folgt definiert:
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> [mm]\Gamma (x)=\int_0^{\infty}\exp(-t)t^{x-1}dt[/mm]
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> warum ist nun für positive Konstanten [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
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> [mm]\int_0^{\infty}\exp(-c_1y)y^{c_2-1}dy=c_1^{-c_2}\Gamma (c_2)[/mm]
es ist per Definitionem
[mm] $$\Gamma(c_2)=\int_0^\infty \exp(-t)t^{c_2-1}dt$$
[/mm]
Substituiere [mm] $t:=c_1y\,,$ [/mm] $dt=c_1dy$ und rechne weiter [mm] $\Gamma(c_2)$
[/mm]
so auf direktem Wege aus. Dann wirst Du sehen
[mm] $$\Gamma(c_2)=c_1^{c_2}\int_0^\infty \exp(-c_1y) y^{c_2-1}dy$$
[/mm]
was äquivalent zu Deiner Gleichung ist!
P.S.
Beachte, dass, auch wenn man es hier nicht sieht, bei der Substitution
diese sich i.a. auch auf die Grenzen des Integrals auswirkt!
(Hier siehst man's bei $t=c_1y$ nicht, weil $t=0 [mm] \gdw [/mm] y=0$ und weil
$t [mm] \to \infty \gdw [/mm] y [mm] \to \infty$ [/mm] - letzteres wegen [mm] $c_1 [/mm] > [mm] 0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Do 04.10.2012 | | Autor: | vivo |
Danke!
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