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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:28 Fr 12.02.2010 | | Autor: | mafra |
| Aufgabe | DEF: Unter einer ganzen Fkt versteht man eine analytische Fkt f: [mm] \IC->\IC
[/mm]
BSP: Polynome Exp, Sin, Cos |
wie kann exp eine ganze Fkt. sein ? exp trifft ja die Null nicht, denn [mm] exp(z)\ne0 [/mm] für alle z oder? aber wenn [mm] f:\IC->\IC [/mm] dann müste ich doch auch die null treffen oder? also würde da [mm] f:\IC->\IC [/mm] \ {0} stehen dann wär mir das klar.
was allerdings auch plausibel ist, ist die Variante, dass die ganzen Fkt. gerade die Fk.t sind die geschrieben als Potenzreihe überall konvergeieren, d.h. bei denen der Konvergenzradius [mm] R=\infty [/mm] . Damit ist klar dass auch exp dazugehört. Wo ist da mein Denkfehler? Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Fr 12.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> DEF: Unter einer ganzen Fkt versteht man eine analytische
> Fkt f: [mm]\IC->\IC[/mm]
>
> BSP: Polynome Exp, Sin, Cos
> wie kann exp eine ganze Fkt. sein ? exp trifft ja die Null
> nicht, denn [mm]exp(z)\ne0[/mm] für alle z oder? aber wenn
> [mm]f:\IC->\IC[/mm] dann müste ich doch auch die null treffen oder?
Nein, da steht ja nicht dass die Funktion surjektiv sein soll. Da steht einfach nur, dass die Funktion ganz [mm] $\IC$ [/mm] abbildet in [mm] $\IC$ [/mm] hinein (also auch in eine echte Teilmenge)
Du schreibst ja auch $f : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto x^2$, [/mm] oder? Obwohl z.B. -1 nicht im Bild liegt?
> was allerdings auch plausibel ist, ist die Variante, dass
> die ganzen Fkt. gerade die Fk.t sind die geschrieben als
> Potenzreihe überall konvergeieren, d.h. bei denen der
> Konvergenzradius [mm]R=\infty[/mm] . Damit ist klar dass auch exp
> dazugehört.
Genau.
Uebrigens: ganze Funktionen sind fast surjektiv, wenn sie nicht gerade konstant sind: sie nehmen dann hoechstens einen Wert aus [mm] $\IC$ [/mm] nicht an. (Das ist der ![[]](/images/popup.gif) kleine Satz von Picard.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Fr 12.02.2010 | | Autor: | mafra |
ahh...ok :) hehe...jo so macht das ja auf jeden fall Sinn. Habe mich da verwirren lassen weil ich dachte die FKt soll dann auch surjektiv sein. Dankeschön!!
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