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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Mi 01.06.2016 | | Autor: | rollroll |
Hallo,
eine kurze Frage:
Weshalb ist dieser gemeinsame Wert eine ganze Zahl?
[mm] -\bruch{\beta}{c}=\bruch{\delta-\alpha}{b}=\bruch{\gamma}{a}
[/mm]
Man weiß noch, dass ggT(a,b,c)=1 und [mm] \alpha \delta [/mm] - [mm] \beta \gamma=1
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Mi 01.06.2016 | | Autor: | rollroll |
Hat niemand eine Idee? Mir kommt die Aufgabe so einfach vor, aber ich komme nicht drauf...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Mi 01.06.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
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> eine kurze Frage:
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> Weshalb ist dieser gemeinsame Wert eine ganze Zahl?
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> [mm]-\bruch{\beta}{c}=\bruch{\delta-\alpha}{b}=\bruch{\gamma}{a}[/mm]
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> Man weiß noch, dass ggT(a,b,c)=1 und [mm]\alpha \delta[/mm] - [mm]\beta \gamma=1[/mm]
>
Da ggT(a,b,c)=1 vorausgesetzt ist, solltest du erst einmal die Brüche auf eben diesen Nenner erweitern, dann kannst du die Zähler vergleichen
Dann bekommst du
[mm] -\frac{ab\beta}{abc}=\frac{ac\delta}{abc}-\frac{ac\alpha}{abc}=\frac{bc\gamma}{abc}
[/mm]
Woher kommt denn die Aufgabe bzw hast du noch irgendwelche Forderungen an/Kenntnisse über die Parameter [mm] \alpha, \beta, \gamma [/mm] und [mm] \delta
[/mm]
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Do 02.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> eine kurze Frage:
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> Weshalb ist dieser gemeinsame Wert eine ganze Zahl?
>
> [mm]-\bruch{\beta}{c}=\bruch{\delta-\alpha}{b}=\bruch{\gamma}{a}[/mm]
>
> Man weiß noch, dass ggT(a,b,c)=1 und [mm]\alpha \delta[/mm] - [mm]\beta \gamma=1[/mm]
>
Bekanntlich ist [mm] \ggT(a,b,c)=\ggT(a, \ggT(b,c))
[/mm]
Setzen wir [mm] $d:=\ggT(b,c)$, [/mm] so ist also
[mm] $1=\ggT(a,d)$.
[/mm]
Wendet man das Lemma von Bezout auf das Paar (b,c) und auf das Paar(a,d) an, so findet man $m,n,k [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
(*) $1=ma+nb+kc$.
Sei nun $j$ der gemeinsame Wert der Quotienten in der Gleichung
$ [mm] -\bruch{\beta}{c}=\bruch{\delta-\alpha}{b}=\bruch{\gamma}{a} [/mm] $.
Dann haben wir
$c=- [mm] \bruch{\beta}{j}, a=\bruch{\gamma}{j}$ [/mm] und [mm] $b=\bruch{\delta -\alpha}{j}$ [/mm] .
Trägt man dies in (*) ein und multipliziert man mit $j$ durch, so folgt
$j=m [mm] \gamma+n(\delta- \alpha)-k \beta$.
[/mm]
Nun sieht man: sind [mm] \alpha, \beta, \gamma [/mm] und [mm] \delta [/mm] ganze Zahlen, so ist $j [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Was fällt auf ? Das: die Eigenschaft $ [mm] \alpha \delta [/mm] - [mm] \beta \gamma=1 [/mm] $ wurde nicht gebraucht !
Ist auch kein Wunder. Warum ?
Allgemeiner gilt also: sind $a,b,c,x,y,z [mm] \in \IZ$, [/mm] ist [mm] \ggT(a,b,c)=1 [/mm] und gilt
$ [mm] \bruch{x}{a}=\bruch{y}{b}=\bruch{z}{c} [/mm] $,
so ist [mm] $\bruch{x}{a} \in \IZ$
[/mm]
FRED
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