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| Aufgabe | Sei A ein Hauptidealring mit Quotientenkörper K. Sei L/K eine endliche separable Körpererweiterung und sei B der ganze Abschluss von A in L.
Dann gilt: Für alle x [mm] \in [/mm] L gibt es ein [mm] 0\neq a\in [/mm] A:ax [mm] \in [/mm] B. |
Hallo,
also mir ist diese Aussage nicht unmittelbar klar. Mal angenommen x [mm] \in [/mm] L ist nicht ganz über A. Dann gibt es kein normiertes Polynom mit Koeffizienten in A, das x als Nullstelle hat.
Wieo gibt es dann ein solches a in A, sodass ax Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten in A ist.
Das ist wahrscheinlich ziemlich leicht zu sehen, aber mir will es gerade einfach nicht einleuchten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Do 06.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei A ein Hauptidealring mit Quotientenkörper K. Sei L/K
> eine endliche separable Körpererweiterung und sei B der
> ganze Abschluss von A in L.
> Dann gilt: Für alle x [mm]\in[/mm] L gibt es ein [mm]0\neq a\in[/mm] A:ax
> [mm]\in[/mm] B.
> Hallo,
>
> also mir ist diese Aussage nicht unmittelbar klar. Mal
> angenommen x [mm]\in[/mm] L ist nicht ganz über A. Dann gibt es
> kein normiertes Polynom mit Koeffizienten in A, das x als
> Nullstelle hat.
> Wieo gibt es dann ein solches a in A, sodass ax Nullstelle
> eines Polynoms mit Koeffizienten in A ist.
> Das ist wahrscheinlich ziemlich leicht zu sehen, aber mir
> will es gerade einfach nicht einleuchten.
Habe $x [mm] \in [/mm] L$ das Minimalpolynom $f = [mm] \sum_{i=0}^n a_i X^i \in [/mm] K[X]$ mit [mm] $a_n [/mm] = 1$.
Berechne jetzt doch mal das Minimalpolynom von $a x$, falls $a [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] ist. Dazu schreibe erst mal das Polynom [mm] $g_a(X) [/mm] := [mm] f(\frac{1}{a} [/mm] X)$ hin, und multipliziere passend damit es normiert ist; nennen wir das Ergebnis [mm] $h_a \in [/mm] K[X]$.
Jetzt beachte, dass du jedes Element aus $K$ schreiben kannst als [mm] $\frac{c}{d}$ [/mm] mit $c, d [mm] \in [/mm] A$. Damit kannst du jetzt $a$ so waehlen, dass alle Koeffizienten von [mm] $h_a$ [/mm] in $A$ liegen.
LG Felix
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> Moin!
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> > Sei A ein Hauptidealring mit Quotientenkörper K. Sei L/K
> > eine endliche separable Körpererweiterung und sei B der
> > ganze Abschluss von A in L.
> > Dann gilt: Für alle x [mm]\in[/mm] L gibt es ein [mm]0\neq a\in[/mm]
> A:ax
> > [mm]\in[/mm] B.
> > Hallo,
> >
> > also mir ist diese Aussage nicht unmittelbar klar. Mal
> > angenommen x [mm]\in[/mm] L ist nicht ganz über A. Dann gibt es
> > kein normiertes Polynom mit Koeffizienten in A, das x als
> > Nullstelle hat.
> > Wieo gibt es dann ein solches a in A, sodass ax Nullstelle
> > eines Polynoms mit Koeffizienten in A ist.
> > Das ist wahrscheinlich ziemlich leicht zu sehen, aber mir
> > will es gerade einfach nicht einleuchten.
>
> Habe [mm]x \in L[/mm] das Minimalpolynom [mm]f = \sum_{i=0}^n a_i X^i \in K[X][/mm]
> mit [mm]a_n = 1[/mm].
>
> Berechne jetzt doch mal das Minimalpolynom von [mm]a x[/mm], falls [mm]a \in K \setminus \{ 0 \}[/mm]
> ist. Dazu schreibe erst mal das Polynom [mm]g_a(X) := f(\frac{1}{a} X)[/mm]
> hin, und multipliziere passend damit es normiert ist;
> nennen wir das Ergebnis [mm]h_a \in K[X][/mm].
>
> Jetzt beachte, dass du jedes Element aus [mm]K[/mm] schreiben kannst
> als [mm]\frac{c}{d}[/mm] mit [mm]c, d \in A[/mm]. Damit kannst du jetzt [mm]a[/mm] so
> waehlen, dass alle Koeffizienten von [mm]h_a[/mm] in [mm]A[/mm] liegen.
>
> LG Felix
>
Ok ich bin heute etwas langsam. Wenn ich das richtig sehe, muss für die Richtigkeit der Aussage dann [mm] a\in K\backslash\{0\} [/mm] sein und nicht in [mm] A\backslash\{0\} [/mm] oder? Ich bin mal zu [mm] h_{a}=X^{n}+a_{n-1}aX^{n-1}+...+a_{0}a^{n} [/mm] gekommen. Nun sehe ich aber nicht, was a sein soll, damit alle Koeffizienten in A sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Do 06.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Habe [mm]x \in L[/mm] das Minimalpolynom [mm]f = \sum_{i=0}^n a_i X^i \in K[X][/mm]
> > mit [mm]a_n = 1[/mm].
> >
> > Berechne jetzt doch mal das Minimalpolynom von [mm]a x[/mm], falls [mm]a \in K \setminus \{ 0 \}[/mm]
> > ist. Dazu schreibe erst mal das Polynom [mm]g_a(X) := f(\frac{1}{a} X)[/mm]
> > hin, und multipliziere passend damit es normiert ist;
> > nennen wir das Ergebnis [mm]h_a \in K[X][/mm].
> >
> > Jetzt beachte, dass du jedes Element aus [mm]K[/mm] schreiben kannst
> > als [mm]\frac{c}{d}[/mm] mit [mm]c, d \in A[/mm]. Damit kannst du jetzt [mm]a[/mm] so
> > waehlen, dass alle Koeffizienten von [mm]h_a[/mm] in [mm]A[/mm] liegen.
>
> Ok ich bin heute etwas langsam.
Dann machen wir mal ein konkretes Beispiel 
> Wenn ich das richtig sehe,
> muss für die Richtigkeit der Aussage dann [mm]a\in K\backslash\{0\}[/mm]
> sein und nicht in [mm]A\backslash\{0\}[/mm] oder?
Richtigkeit wovon?
> Ich bin mal zu
> [mm]h_{a}=X^{n}+a_{n-1}aX^{n-1}+...+a_{0}a^{n}[/mm] gekommen. Nun
> sehe ich aber nicht, was a sein soll, damit alle
> Koeffizienten in A sind.
Sei $A = [mm] \IZ$ [/mm] und [mm] $h_a [/mm] = [mm] X^3 [/mm] + [mm] \frac{3}{2} [/mm] a [mm] X^2 [/mm] + [mm] \frac{9}{3} a^2 [/mm] X + [mm] \frac{1}{5} a^3$.
[/mm]
Wie musst du jetzt $a [mm] \in \IZ \setminus \{ 0 \}$ [/mm] waehlen, dass [mm] $h_a \in \IZ[X]$ [/mm] ist? Es muss dafuer doch $a [mm] \frac{3}{2} \in \IZ$, $a^2 \frac{9}{3} \in \IZ$ [/mm] und [mm] $a^3 \frac{1}{5} \in \IZ$ [/mm] sein.
LG Felix
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