Ganzrationale Funktionen < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Di 02.09.2008 | | Autor: | Syreah |
| Aufgabe | Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades so, dass für den Graphen gilt:
a) O (0/0) ist Punkt des Graphen. W (2/4) ist Wendepunkt, die zugehörige Wendetangete hat die Steigung -3.
b) o (0/0) ist Wendepunkt, an der Stelle [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{2} [/mm] liegt ein relativer Hochpunkt vor, P(1/2) ist Punkt des Graphen.
c) O(0/0) ist relativer Tiefpunkt des Graphen, 2 ist Wendestelle, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung 4. |
Ich sitze nun schon seit längerer Zeit an den ganzen Matheaufgaben und bin langsam der Verzweiflung nahe. Wie beginne ich, diese Aufgaben zu lösen?
Die Funktion dritten Grades sagt mir, dass es sich um so eine Gleichung handeln muss: f(x) = ax³+bx²+cx+d - bis dahin okay. Davon nehme ich die Ableitungen, damit ich mit diesen rechnen kann (ich meine mich zu erinnern, dass ich die brauche?)
bei a) wäre beispielsweise mein Vorgehen, dass ich den Punkt (O/O) in die Ausgangsfunktion einsetze, damit müsste ja d = 0 rauskommen, oder?
Habe jetzt allerdings nicht im Geringsten verstanden, wie ich mit dem Wendepunkt, geschweige mit der Tangete und deren Steigung arbeite...
kann mir jemand Tipps/Ansätze liefern?
Ich wäre sehr dankbar...
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Erst einmal liebe Grüße und bloß nicht aufregen oder verzweifeln, lieber mal ne Pause machen und tief durchatmen, was angenehmes zwischendurch, ehe man sich noch einmal an die Aufgaben setzt. Ich kann das sehr gut, und habe mich mehr als einmal an einer Aufgabe bis nach Mitternacht festgebissen, aber dafür ist die Lösung um so schöner.
> Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades so,
> dass für den Graphen gilt:
> a) O (0/0) ist Punkt des Graphen. W (2/4) ist Wendepunkt,
> die zugehörige Wendetangete hat die Steigung -3.
> b) o (0/0) ist Wendepunkt, an der Stelle [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{2}[/mm]
> liegt ein relativer Hochpunkt vor, P(1/2) ist Punkt des
> Graphen.
> c) O(0/0) ist relativer Tiefpunkt des Graphen, 2 ist
> Wendestelle, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung
> 4.
> Ich sitze nun schon seit längerer Zeit an den ganzen
> Matheaufgaben und bin langsam der Verzweiflung nahe. Wie
> beginne ich, diese Aufgaben zu lösen?
>
> Die Funktion dritten Grades sagt mir, dass es sich um so
> eine Gleichung handeln muss: f(x) = ax³+bx²+cx+d - bis
> dahin okay. Davon nehme ich die Ableitungen, damit ich mit
> diesen rechnen kann (ich meine mich zu erinnern, dass ich
> die brauche?)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") vollkommen richtig, diese Art von Aufgaben nennt sie Rekonstruktion, du musst also, anstatt wie bei einer Kurvendiskussion Punkte zu berechnen, gegebene Punkte nutzen, um eine Funktion zu erstellen, die diesen Punkten entspricht. Da der Grad vorgegeben ist, nimmst du erst einmal den allgemeinen Ansatz mit allen möglichen Variablen, also völlig richtig,
allg. Ansatz: [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm]
> bei a) wäre beispielsweise mein Vorgehen, dass ich den
> Punkt (O/O) in die Ausgangsfunktion einsetze, damit müsste
> ja d = 0 rauskommen, oder?
auch das ist völlig richtig, alles, was gegeben ist, einsetzen.
Daraus folgt
1. Gleichung: [mm]f(0)=a*0+b*0+c*0+d=0[/mm]
=> d=0
> Habe jetzt allerdings nicht im Geringsten verstanden, wie
> ich mit dem Wendepunkt, geschweige mit der Tangete und
> deren Steigung arbeite...
Dann versuche ich dir ab hier einmal zu helfen. Also erst einmal, was ist uns noch gegeben?
Ein Wendepunkt WP(2/4) und eine Wendetangente t(x) mit der Steigung [mm] m_t=-3
[/mm]
Schon an dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass mit dem Wendepunkt automatisch ein normaler Punkt für die Funktion gegeben ist, das übersieht man sehr oft! Das heißt, der Punkt WP ist zwar ein Wendepunkt und das klingt nach zweiter Ableitung, ABER er ist natürlich auch ein normaler Punkt, der auf dem Graphen liegt, also kannst du sofort als nächste Gleichung aufstellen:
2. Gleichung: [mm]f(2)=a*2^3+b*2^2+c*2=4[/mm]
Nun müssen wir uns dem Wendepunkt annähern. Was weißt du über Wendepunkte? Nun Wendepunkte haben etwas mit der 2. Ableitung zu tun, denn diese muss bekanntlich 0 sein. Über hinreichende und notwenidge Kriterien brauchst du nicht nachdenken, denn der Wendepunkt ist als solcher gegeben, er ist also definitiv einer. Also wenn wir einen Wendepunkt gegeben haben, müssen seine Koordinaten die Gleichung [mm] f''(x_w)=0 [/mm] erfüllen, stimmts? Denn du gehst ja jetzt den umgekehrten Weg wie sonst. Normalerweise fragst du dich, hat die Funktion, mithin der Graph einen Wendepunkt? Um das herauszufinden, muss ich doch die zweite Ableitung gleich 0 setzen. Nun hast du einen Wendepunkt gegeben, also hat das jemand für dich schon gemacht. Damit muss die Gleichung aber 0 geben.
erste Ableitung: [mm]f'(x)=3a*x^2+2b*x+c[/mm]
zweite Ableitung: [mm]f''(x)=6a*x+2b[/mm]
so nun setzen wir ein:
3. Gleichung: [mm]f''(2)=6a*2+2b=0[/mm]
Als letzte Information haben wir noch eine Tangente am Wendepunkt. Der name Wendetangente mag irritieren, es handelt sich um eine ganz normale Tangente an den Graphen, also um eine Tangente, die den Graphen im Wendepunkt berührt. Also wissen wir, dass bei den Koordinaten WP(2/4) eine Tangente mit der Steigung -3 anliegt. Das bedeutet, dass die Steigung der Funktion in WP ebenfalls -3 betragen muss!
4. Gleichung: [mm]f'(2)=3a*2^2+2b*2+c=-3[/mm]
Damit haben wir 4 Gleichungen, womit wir jedes Gleichungssystem mit 4 unbekannten lösen können. Zudem ist d direkt am Anfang weggefallen, somit bleiben noch 3 Variablen und 3 Gleichungen.
1. Gleichung: [mm]f(0)=a*0+b*0+c*0+d=0[/mm]
2. Gleichung: [mm]f(2)=a*2^3+b*2^2+c*2=0[/mm]
3. Gleichung: [mm]f''(2)=6a*2+2b=4[/mm]
4. Gleichung: [mm]f'(2)=3a*2^2+2b*2+c=-3[/mm]
Was du jetzt noch tun musst, ist, dieses Gleichungssystem auf deine Art zu lösen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Syreah |
Vielen Dank für diese unglaublich ausführliche Antwort! Um da hinter zu steigen, muss ich es mir wohl noch drei-vier mal durchlesen und selbst rumprobieren, aber im Groben habe ich verstanden, wie man zu diesen Gleichungen kommt. (ob ich es alleine schaffen würd, sei mal dahin gestellt..;( )
ich hab jetzt die drei Gleichungen - okay.
f(2) = 8a + 4b + 2c = 4
f''(2) = 12a + 2b = 4
f'(2) = 12a + 4b + c = -3
ich würd dann schlicht und ergreifend düe zweite Gleichung nehmen und dort b = -6a rausbekommen.
Diese habe ich in die anderen beiden Gleichungen eingesetzt und es kam- wie erwartet- nur Müll raus *g* Zumindest kam ich auf kein vernünftiges Ergebnis für die Parameter..
war mein Ansatz jetzt falsch?
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Hallo,
bevor du dich weiter ans Werk machst, Adamantin ist ein kleiner(Schreib)Fehler unterlaufen, die 3. Gleichung lautet 12a+2b=0, es gilt ja f''(2)=0, da du mit b=-6a gerechnet hast, hast du es aber offenbar beachtet, es entsteht somit
4=8a+4*(-6a)+2c, laut 1. Gleichung ist d=0
4=8a-24a+2c
4=-16a+2c
und
-3=12a+4(-6a)+c
-3=12a-24a+c
-3=-12a+c
jetzt hast du dein System auf zwei Gleichungen reduziert
4=-16a+2c
-3=-12a+c
jetzt solttest du es schaffen
Steffi
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:25 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
In der Tat dumm gelaufen, ich hab mir oben die Koordinaten gesucht, die ich in f''(x) einsetzen muss und dann gleich für y die 4 anstatt die 0 genommen, dabei habe ich ja selbst erklärt, dass es 0 geben muss! [mm] x_x [/mm] passiert, sorry und danke für den Hinweis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Syreah |
Danke für den Hinweis. Fehler passieren denk ich jedem mal.. ist ja kein Ding  Bin schon heilfroh, dass ich hier in kleinen Stückchen ansatzweise weiterkomme - dank euch.
Ich habe nun folgende Ergebnisse:
a = 1,25
b = -7,5
c = 12
d = 0
mit viel rumrechnerei und ohne wirklich zu wissen, was ich dort tue - zugegeben. Aber immerhin habe ich am Ende mal ein paar ansehnliche Zahlen raus.
Ist das so richtig?
die nächsten fünf Aufgaben warten noch auf mich.. ;(
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Hallo, und Glückwunsch, alle Ergebnisse korrekt, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Syreah |
Danke Ich komme dem Ganzen etwas näher, freut mich.
Ich habe mich jetzt mal an b) versucht.
Habe den Punkt (1/2) in die Ausgangsfunktion eingesetzt und bekam als Gleichung f(1) = a + b + c + d = 2 heraus.
Dann habe ich den Wendepunkt (0/0) in die Ausgangsfunktion gesetzt, weil das auch ein Punkt auf dem Graphen ist. Da bekam ich für d = 0 heraus.
Als nächstes habe ich die zweite Ableitung noch gleich 0 gesetzt und den Wendepunkt eingesetzt.
Da bekam ich folgendes heraus: f''(0) = 2b = 0
Kann ich das soweit stehen lassen?
Jetzt ist die Rede von einem relativen Hochpunkt an der Stelle [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{2} [/mm] ... für eine Extremstelle gilt die notwendige Bedingung f'(x) = 0 ... also wollte ich die erste Ableitung gleich Null setzen .. und dann? ...
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Hallo,
d=0 korrekt
2b=0 korrekt, also b=0
[mm] f'(\bruch{1}{2}\wurzel{2})=0
[/mm]
also [mm] 0=3a(\bruch{1}{2}\wurzel{2})^{2}+c [/mm] der Term 2bx entfällt, da b=0
jetzt hast du noch die Information (1; 2) gehört zur Funktion, also
2=a+c bedenke auch hier b=d=0 kennst du schon,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Syreah |
Ich habe jetzt für alle Parameter 0 herausbekommen,
kann das stimmen?
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Hallo, das kann ja nicht sein, wir hatten b=d=0 geklärt
[mm] 0=3a(\bruch{1}{2}\wurzel{2})^{2}+c [/mm]
[mm] 0=3*a*\bruch{1}{4}*2+c
[/mm]
[mm] 0=\bruch{3}{2}a+c
[/mm]
und
2=a+c ergibt c=2-a in 1. Gleichung einsetzen
[mm] 0=\bruch{3}{2}a+2-a
[/mm]
jetzt schaffst du es,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Syreah |
Habe jetzt
a = -4
und
c = 6
heraus..
einverstanden? ;)
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aber sicher, perfekt, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mi 03.09.2008 | | Autor: | Syreah |
Wenn der Ehrgeiz einem nicht im Stich lässt, klappts ja doch immer am Besten... und wenn man erstmal "drin" ist, mag man gar nicht mehr aufhören. schlimm. also.. zu c) folgendes..
O(0/0) isn relativer Tiefpunkt.
Gleichzeitig isses ein Punkt auf dem Graphen (?)
Also habe ich O(0/0) in die Ausgangsfunktion eingesetzt, ich erhalte
d = 0
dann gilt doch auch für diesen Tiefpunkt f'(x) = 0
d.h. f'(0) = 3a*0³ + 2b*0 + c
f'(o) = c
c = 0
für die Wendestelle "2" wollte ich die "2" in die zweite Ableitung einsetzen und diese gleich 0 setzen ?
f''(2) = 6a * 2 + 2b
f''(2) = 12a + 2b = 0
-6a = b
oder muss ich die gleich 4 setzen, aufgrund der Steigung der Wendetangente?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Do 04.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit richtig, die Steigung der Wendtangente gibt dir f'(2), was ja die Steigung ist!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Do 04.09.2008 | | Autor: | Syreah |
Habe dort nun für den Parameter a 0,027 heraus.. bin mir nicht sicher.
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Also dein Vorgehen war richtig, du hast einen Wendepunkt, also zweite Ableitung = 0 und du hast eine Wendetangente mit einer Steigung, die wird mittels 1. Ableitung ermittelt.
f''(2)=6a*2+2b=0
12a+2b=0
f'(2)=3a*2²+2b*2=4
12a+4b=4
12a+2b-12a-4b=-4
-2b=-4
b=2
12a=-2b
12a=-4
[mm] a=-\bruch{1}{3}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Do 04.09.2008 | | Autor: | Syreah |
Aber wie kamst du nun auf "12a+2b-12a-4b=-4" ? kann ich gerade nicht nachvollziehen.
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Oh entschuldige, da war ich wohl am Ende zu schnell für dich, ich dachte, du kennst das Additionsverfahren zum Lösen zweier oder mehr Gleichungen.
Also dann langsam :)
Wir hatten am Ende noch zwei Gleichungen übrig. Die eine hieß:
I 12a+2b=0
Die letzte Gleichung lautete:
II 12a+4b=4
Nun kannst du das ganze auch durch Einsetzen lösen. Dann würdest du z.B. das ganze nach 12a auflösen
II 12a=4-4b
in I:
I (4-4b)+2b=0 [mm] \gdw [/mm] 4-2b=0 [mm] \gdw [/mm] b=2
und jetzt in I oder II um a auszurechnen
Was ich gemacht habe, ist die Gleichungen gleich zu addieren:
12a+2b=0
12a+4b=4
Jetzt kann man einfach die I Gleichung mit der zweiten addieren oder die II von der ersten subtrahieren.
Das geht dann so: 1. Glied der ersten Gleichung - 1 Glied der zweiten Gleichung usw.
also:
12a-12a+2b-4b=0-4
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Do 04.09.2008 | | Autor: | Syreah |
Okay. soweit, sogut.. (ich werd noch etwas Übung brauchen, um solche Aufgaben ohne Hilfe zu packen, glaub ich. das nervt mich gerade tierisch.)
ich bekomme bei a auch komischerweise immer eine positive Zahl heraus und nicht wie du, eine Negative.. ? mh.
Wenn ich Nullstellen gegeben habe, setze ich diese einfach in die Ausgangsfunktion?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Do 04.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Okay. soweit, sogut.. (ich werd noch etwas Übung brauchen,
> um solche Aufgaben ohne Hilfe zu packen, glaub ich. das
> nervt mich gerade tierisch.)
> ich bekomme bei a auch komischerweise immer eine positive
> Zahl heraus und nicht wie du, eine Negative.. ? mh.
Du hast:
[mm] \vmat{12a+2b=0\\12a+4b=4}
[/mm]
Gl1-Gl2 ergibt:
[mm] \vmat{12a+2b=0\\0a-2b=-4}
[/mm]
[mm] \gdw \vmat{6a+b=0\\b=2}
[/mm]
Also [mm] 6a+2=0\Rightarrow6a=-2\Rightarrow a=\bruch{-2}{6}=-\bruch{1}{3}
[/mm]
>
> Wenn ich Nullstellen gegeben habe, setze ich diese einfach
> in die Ausgangsfunktion?
Wenn du eine Nullstelle hast, hast du ja einen Punkt [mm] P(x_{0}/0), [/mm] also gilt:
[mm] f(x_{0})=0
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Do 04.09.2008 | | Autor: | Syreah |
| Aufgabe | Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades, sodass für den Graphen der Funktion gilt:
a) 0 und -3 sind Nullstellen, E(3/-6) ist relativer Tiefpunkt[Hochpunkt]. |
Dankeschön! Ich brauche manchmal einfach länger, um diese ganzen Rechenwege nachvollziehen zu können..
Bei der nächsten Aufgabe hab ichs mal versucht, und bin so weit gekommen:
1) Nullstellen, wie du mich eben freundlich drauf hingewiesen hast - danke - sind natürlich auch Punkte auf dem Graphen. Also habe ich die in die Ausgangsfunktion eingesetzt.
daraus folgte bei Punkt (0/0)
d= 0
und bei Punkt (-3/0)
f(-3) = -27a + 9b - 3c = 0
Dann habe ich den Tiefpunkt in die Ausgangsfunktion eingesetzt, daraus kam heraus:
f(3) = 27a + 9b + 3c = -6
Außerdem gilt für einen Tiefpunkt ja f'(x) = 0, also
f'(3) = 9a + 6b + c = 0 (da kommt ne 0 statt ne -6 hin, oder?)
naja. dann kam ich eben zu den Gleichungen
I. f(-3) = -27a + 9b - 3c = 0
II. f(3) = 27a + 9b + 3c = -6
III. f'(3) = 9a + 6b + c = 0
soweit richtig?
und wie mache ich nun weiter? :/
(und was mich auch noch interessieren würde. In der Aufgabenstellung ist einmal von einem Tiefpunkt bei E(3/-6) die Rede und einmal von einem Hochpunkt.. an den gleichen Koordinaten. Was macht das für einen Unterschied beim Rechnen? Muss ich irgendwas beachten, anders machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Do 04.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades, sodass
> für den Graphen der Funktion gilt:
> a) 0 und -3 sind Nullstellen, E(3/-6) ist relativer
> Tiefpunkt[Hochpunkt].
> Dankeschön! Ich brauche manchmal einfach länger, um diese
> ganzen Rechenwege nachvollziehen zu können..
>
> Bei der nächsten Aufgabe hab ichs mal versucht, und bin so
> weit gekommen:
>
> 1) Nullstellen, wie du mich eben freundlich drauf
> hingewiesen hast - danke - sind natürlich auch Punkte auf
> dem Graphen. Also habe ich die in die Ausgangsfunktion
> eingesetzt.
> daraus folgte bei Punkt (0/0)
> d= 0
>
> und bei Punkt (-3/0)
> f(-3) = -27a + 9b - 3c = 0
>
>
> Dann habe ich den Tiefpunkt in die Ausgangsfunktion
> eingesetzt, daraus kam heraus:
> f(3) = 27a + 9b + 3c = -6
>
> Außerdem gilt für einen Tiefpunkt ja f'(x) = 0, also
> f'(3) = 9a + 6b + c = 0 (da kommt ne 0 statt ne -6 hin,
> oder?)
Nicht ganz: f'(x)=3ax²+2bx+c
Also f'(3)=3*a*9+2b*3+c=27a+6b+c=0
>
> naja. dann kam ich eben zu den Gleichungen
> I. f(-3) = -27a + 9b - 3c = 0
> II. f(3) = 27a + 9b + 3c = -6
> III. f'(3) = 9a + 6b + c = 0
>
> soweit richtig?
Bis auf den Fehler , ja
> und wie mache ich nun weiter? :/
>
Das GLS musst du nun lösen. (wie auch immer, hier empfiehlt sich das Additionsverfahren)
[mm] \vmat{-27a+9b-3c=0\\27a+9b+3c=-6\\27a+6b+c=0}
[/mm]
(Gl.1+Gl.2;Gl.1+Gl.2)
[mm] \gdw\vmat{-27a+9b-3c=0\\18b=-6\\15b-2c=0}
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
> (und was mich auch noch interessieren würde. In der
> Aufgabenstellung ist einmal von einem Tiefpunkt bei E(3/-6)
> die Rede und einmal von einem Hochpunkt.. an den gleichen
> Koordinaten. Was macht das für einen Unterschied beim
> Rechnen? Muss ich irgendwas beachten, anders machen?
Nein, bei beiden ist das notwendige Kriterium [mm] f'(x_{e})=0
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Do 04.09.2008 | | Autor: | Syreah |
also raus bekommen habe ich nun
b = -0,3
und
c = - 2,25
... ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Do 04.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nein, das passt so nicht:
$ [mm] \vmat{-27a+9b-3c=0\\27a+9b+3c=-6\\27a+6b+c=0} [/mm] $
$ [mm] \gdw\vmat{-27a+9b-3c=0\\18b=-6\\15b-2c=0} [/mm] $
Also [mm] 18b=-6\Rightarrow b=-\bruch{6}{18}=-\bruch{1}{3}
[/mm]
Somit
[mm] 15*\left(-\bruch{1}{3}\right)-2c=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c=....
Und dann bleibt noch a zu berechnen. (Gl.1 mit den Werten für b und c)
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Do 04.09.2008 | | Autor: | Syreah |
jetzt habe ich für a 0,16 heraus. aber das kann doch wieder nicht stimmen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Do 04.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Das ist auch nicht korrekt. Zeig doch mal deine Rechnung, und dein Ergebnis für c.
b haben wir ja schon bestimmt, mit [mm] -\bruch{1}{3}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 04.09.2008 | | Autor: | Syreah |
Was plötzlich alles an grundlegenden Dingen weg ist, wenn man ein Jahr Schule wegen Krankheit aussetzen muss und dann wiederholt und man so gar nicht mehr drin ist im Stoff...
also..
ich habe b in 15b - 2c eingesetzt.
15*(-1/3) -2c = 0
-5 = -2c |:(-2)
2,5 = c
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Do 04.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] 15*(-\bruch{1}{3})-2c=0
[/mm]
[mm] \gdw -\bruch{15}{3}=\red{+}2,5c
[/mm]
[mm] \gdw -\bruch{5}{2}=c
[/mm]
Und jetzt a.
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Do 04.09.2008 | | Autor: | Syreah |
-27a + 9b - 3c = 0
-27a + [mm] 9*(-\bruch{1}{3}) [/mm] - [mm] 3*(-\bruch{5}{2}) [/mm] = 0
-27a - 3 + 7 1/2 = 0
-27a + 4 1/2 = 0
-27a = - 4 1/2
a = [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Do 04.09.2008 | | Autor: | Adamantin |
Eigentlich gibts ja alles im Netz, aber ich wäre nie auf die Idee gekommen, sowas zu suchen, sehr nützlich, ein Dank von mir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Do 04.09.2008 | | Autor: | Syreah |
Könntet ihr einmal Korrektur lesen?
Gegeben:
Hochpunkt (-1/2)
Wendepunkt (0/0,5)
da Funktion dritten Grades: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
I. Hochpunkt in Ausgangsfunktion
f(-1) = a*(-1)³ + b*(-1)²+c*(-1) + d = 2
f(-1) = a - b - c + d = 2
II. Außerdem gilt für den Hochpunkt erste Ableitung gleich 0.
f'(-1) = 3a*(-1)² + b*(-1) + c = 0
f'(-1) = 3a - b + c = 0
III. Wendepunkt in Ausgangsfunktion
f(0) = d = 0,5
d = 0,5
IV. Fürn Wendepunkt gilt zweite Ableitung gleich 0.
f''(0) = 6a * 0 + b = 0
b = 0
c ausrechnen mit II. Gleichung. Dabei entfällt -b da b=0
also
3a + c = 0
3a = c
c in Ausgangsfunktion
-a + 3a + 0,5 = 0
2a + 0,5 = 0
2a = - 0,5
a = - 0,25
c = - 0,75
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Do 04.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo syrea
Du hast grundsaetzlich alle Gleichungen richtig gefunden.
Leider hast du ein paar ungeschickte Fehler gemacht.
1. Weil du f' nicht extra aufgeschrieben hast sind die Gl. fuer f' falsch.
2. [mm] (-1)^3=-1 (-1)^2=1
[/mm]
genauer:
> Gegeben:
> Hochpunkt (-1/2)
> Wendepunkt (0/0,5)
>
> da Funktion dritten Grades: f(x) = ax³ + bx² + cx + d
hier solltest du f' und f'' aufschreiben
[mm] f'=3a*x^2+2b*x+c
[/mm]
> I. Hochpunkt in Ausgangsfunktion
> f(-1) = a*(-1)³ + b*(-1)²+c*(-1) + d = 2
richtig
> f(-1) = a - b - c + d = 2
falsch: es ist :
-a+b-c+d+2
>
> II. Außerdem gilt für den Hochpunkt erste Ableitung gleich
> 0.
> f'(-1) = 3a*(-1)² + b*(-1) + c = 0
falsch bei b fehlt die 2
> f'(-1) = 3a - b + c = 0
>
> III. Wendepunkt in Ausgangsfunktion
> f(0) = d = 0,5
> d = 0,5
richtig
>
> IV. Fürn Wendepunkt gilt zweite Ableitung gleich 0.
> f''(0) = 6a * 0 + b = 0
falsch, bei b fehlt die 2!
> b = 0
richtig, da ja auch aus 2b=0 b=0 folgt!
Den Rest musst du also noch verbessern.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Do 04.09.2008 | | Autor: | Syreah |
Dankeschön! Ohne dieses Forum hätte ich es um Längen nicht selbst gepackt.
Letzte Aufgabe für heute, dann solls das erstmal gewesen sein..
Gegeben:
Punkt P(0/0)
Punkt P1 (1/7)
relative Extremstellen bei 2 und -2
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
I Punkt (0/0) in Ausgangsfunktion
Ergebnis d=0
II Punkt (1/7) in Ausgangsfunktion
Ergebnis: f(1) = a+b+c=7
III Extremstelle 2 in erste Ableitung, diese gleich 0
f'(2) = 3a*2² + 2b*2 + c = 0
f'(2) = 12a + 4b + c = 0
IV Extremstelle -2 in erste Ableitung, diese gleich 0
f'(-2) = 12a - 4b + c = 0
Damit hätte ich:
II f(1) = a+b+c = 7
III f'(2) = 12a + 4b + c = 0
IV f'(-2) = 12a - 4b + c = 0
Habe mir überlegt: III minus IV, dann hätte ich
8b = 0
b = 0
und jetzt wüsst ich wieder nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Do 04.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Syreah!
Soweit hast Du alles richtig gemacht ...
Setze nun den Wert $b \ = \ 0$ in die Gleichung (II) sowie Gleichung (III) ein.
Damit verbleibt dann ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten:
$$a+c \ = \ 7$$
$$12a+c \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Do 04.09.2008 | | Autor: | Syreah |
a = -0,63
c = 7,63
und hundertpro falsch? ich komm nicht drauf. es hapert immer daa..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Do 04.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Syreah!
Das stimmt doch (zumindest habe ich dasselbe erhalten  ).
Aber besser als Brüche angeben die Werte.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Do 04.09.2008 | | Autor: | Syreah |
DANKE! =)
Jetzt gehts fit in den morgigen Matheunterricht. ;D
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