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Gegeben sei die Funktionsschar fk(x) = k(x³- x² -6x)
a) Führen Sie eine vollständige Funktionsuntersuchung durch.
aa) Symmetrie
ab) Nullstellen
ac) Lokale Extrempunkte
ad) Wendepunkte
ae) Krümmungsverhalten
b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden, die die Wendetangente im rechten Winkel schneidet und durch den Wendepunkt W verläuft
c) Ermitteln Sie die Ortskurve auf der die lokalen Hochpunkte bzw die lokalen Tiefpunkte von fk liegen
d) Stochastik.
da) Wählen Sie k so, dass fk im Intervall (-2; 3) als Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X aufgefasst werden kann.
db) Ermitteln sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz V(X)
Lösung:
(Lösungen erstmal ohne Rechenweg auf Anfrage wird der gepostet)
aa) Der Graph ist nicht symmetrisch
ab) Der Graph hat Nullstellen bei -2, 0 und 3
ac) [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \wurzel{19/9} [/mm] --> lok Maximumstelle
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \wurzel{19/9} [/mm] --> lok Minimumstelle
Tiefpunkt( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \wurzel{19/9} [/mm] / k(- [mm] \bruch{56}{27} [/mm] - [mm] \bruch{38}{9} \wurzel{19/9} [/mm] )
Hochpunkt( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \wurzel{19/9} [/mm] / k(- [mm] \bruch{56}{27} +\bruch{38}{9} \wurzel{19/9} [/mm] )
b) Hier hab ich keine Lösung zu. Ich wüßte auch keinen möglichen Lösungsweg.
c) Ortskurve der T: x= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \wurzel{19/9}
[/mm]
Ortskurve der H: y= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \wurzel{19/9}
[/mm]
d) Hier hab ich keine Lösung zu. Ich wüßte auch keinen möglichen Lösungsweg.
Ich bräuchte also Hinweise bzw Tips um bei b) und d) auf ein Ergebnis zu kommen. Ich habe die restlichen Lösungen mal gepostet, falls man die evtl braucht.
mfg Seb
da hatte sich ein Tippfehler eingeschlichen
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b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Geraden, die die Wendetangente im rechten Winkel schneidet und durch den Wendepunkt W verläuft
f(x) = [mm] k(x^3-6x-2)
[/mm]
f'(x) = [mm] k(3x^2-6)
[/mm]
f''(x) = 6kx
f'''(x) = 6k
Wendepunkt:
0 = 6kx
also x = 0
f(0) = -2k
W(0|-2k)
f'(0) = -6k
Steigung Normale =
-6k * m = -1
m = 1/6k
y = 1/6k * x + b
-2k = 1/6k * 0 + b
b = -2k
Also ist die Steigung der Normalen im Wendepunkt:
y = 1/6k * x - 2k
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Bei mir hat sich ja leider der Tippteufel eingeschlichen. Wurde von mir in der Aufgabe schon verbessert.
Demnach müßte der Wendepunkt
[mm] W(\bruch{1}{3} [/mm] / [mm] -\bruch{56}{27}k) [/mm] lauten.
Die Ableitungen lauten dann
fk '(x) = k(3x²-2x-6)
fk ''(x) = k(6x-2)
fk '''(x) = 6k
Trotzdem versteh ich immer noch nicht wie ich auf die Funktionsgleichung, die die Wendetangente im rechten Winkel schneidet komme.
mfg Seb und sorry für den Tippfehler
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Seb
> Bei mir hat sich ja leider der Tippteufel eingeschlichen.
> Wurde von mir in der Aufgabe schon verbessert.
>
> Demnach müßte der Wendepunkt
> [mm]W(\bruch{1}{3}[/mm] / [mm]-\bruch{56}{27}k)[/mm] lauten.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Ableitungen lauten dann
> fk '(x) = k(3x²-2x-6)
> fk ''(x) = k(6x-2)
> fk '''(x) = 6k
>
> Trotzdem versteh ich immer noch nicht wie ich auf die
> Funktionsgleichung, die die Wendetangente im rechten Winkel
> schneidet komme.
Du kennst die Steigung der Tangente in W?
[mm] m_t = f'(\bruch{1}{3}) [/mm]
Außerdem gilt für die Steigungen senkrecht aufeinanderstehender Geraden [mm] m_1 \cdot m_2 = -1 [/mm]
Damit kannst du jetzt die Steigung der Senkrechten zur Wendetangente bestimmen (Ergebnis: [mm] m_n = \bruch{3}{k \cdot 19} [/mm], falls ich mich nicht verrechnet habe).
Jetzt kennst du von deiner Senkrechten die Steigung und außerdem einen Punkt, nämlich W. Ich denke, da habt ihr ein Verfahren kennengelernt, wie man in diesem Fall die Gleichung bestimmt. Am einfachsten geht's mit der Punkt-Steigungs-Form.
Reicht das? Sonst frag möglichst konkret nach.
Gruß Sigrid
> mfg Seb und sorry für den Tippfehler
>
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Nach der Punkt-Steigungs-Form müßte nun rauskommen
b = - [mm] \bruch{56}{27}k [/mm] - [mm] \bruch{3}{19*k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Ergebnis soll [mm] \bruch{-1064k² - 27}{513k} [/mm] sein.
Ich frage mich nur , wie komme ich auf das Ergebnis.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sebastian!
> b = - [mm]\bruch{56}{27}k[/mm] - [mm]\bruch{3}{19*k}[/mm] * [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Ergebnis soll [mm]\bruch{-1064k² - 27}{513k}[/mm] sein.
Die beiden Ausdrücke sind doch gleich ...
$- [mm] \bruch{56}{27}*k [/mm] - [mm] \bruch{3}{19*k}*\bruch{1}{3}$ [/mm] $= \ [mm] \bruch{-56*k}{27} [/mm] - [mm] \bruch{1}{19*k}$
[/mm]
Nun beide Brüche entsprechend auf den Hauptnenner $27*19*k \ = \ 513*k$ erweitern:
$= \ [mm] \bruch{-56*k}{27}*\bruch{19*k}{19*k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{19*k}*\bruch{27}{27}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{-1064*k^2}{513*k} [/mm] - [mm] \bruch{27}{513*k}$
[/mm]
...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Seb
Kann es sein, dass deine Funktionsgleichung
[mm] f(x) = k(x^3 - x^2 -6x) [/mm]
lautet?
Sonst passen deine Ergebnisse nicht.
Gruß Sigrid
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Hallo,
> d) Stochastik.
> da) Wählen Sie k so, dass fk im Intervall (-2; 3) als
> Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X aufgefasst
> werden kann.
Die Funktion [mm]f_{k}(x)[/mm] heißt Dichtefunktion, wenn
[mm]\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f_k (x)\;dx\; = \;1} [/mm]
gilt. Außerdem muss die Funktion [mm]f_{k}(x)[/mm] im positiven verlaufen.
> db) Ermitteln sie den Erwartungswert E(X) und die Varianz
> V(X)
Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße X:
[mm]E(X)\; = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {x\;f_k (x)\;dx} [/mm]
Varianz einer stetigen Zufallsgröße X:
[mm]V(X)\; = \;\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\left( {x\; - \;E\left( X \right)} \right)^2 \;f_k (x)\;dx} [/mm]
Gruß
MathePower
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