Gauß-Algorithmus < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 So 11.03.2007 | | Autor: | Kathy43 |
| Aufgabe | 1. kv`(9)=0 => 18a+b =0
2. K`(9) =6.5 => 243a+18b+c =6,5
3. K (0) =12 => +d =12
4. K (6) =60 => 216a+36b+6c+d =60
1. p(20) =0 => 20m+n =0
2. p(6) =10 => 10m+n =0 |
Diese Steckbriefaufgabe muss ich mit dem Gauß-Algorithmus errechnen. Ich hab dies in der Schule leider nicht verstanden und in einer Woche schreiben wir schon die nächste Matheklausur. Ich hoffe mir kann jemand die einzelnen Schritte erklären, wie ich dies errechnen kann.
Danke schon mal im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Kathy,
zu (2):
Du hast das Gleichungssystem
20m+n=0
10m+n=0
Das entspricht in Matrixschreibweise der Matrixgleichung [mm] \pmat{ 20 & 1 \\ 10 & 1 }\cdot{}\vektor{m \\ n}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Zur Berechnung einer Lösung stellt man sie sog. erweiterte Koeffizientenmatrix [mm] \pmat{ 20 & 1 & | & 0 \\ 10 & 1 & | & 0 } [/mm] auf, die man durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform bringt.
Erlaubt sind 3 Typen von Umformungen:
(1) Vertauschen von zwei Zeilen
(2) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
(3) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar (einer Zahl) [mm] \ne [/mm] 0
Zeilenstufenform bedeutet, dass unterhalb des ersten Eintrages einer Zeile nur 0en stehen dürfen.
Also [mm] \pmat{ 20 & 1 & | & 0 \\ 10 & 1 & | & 0 } [/mm] Addiere die erste Zeile zum -2fachewn der zweiten Zeile [Umformung Typ(2)]
das ergibt [mm] \pmat{ 20 & 1 & | & 0 \\ 0 & -1 & | & 0 } [/mm]
Jetzt könntest du noch die 2te Zeile zur ersten Zeile addieren, das ergäbe
[mm] \pmat{ 20 & 0 & | & 0 \\ 0 & -1 & | & 0 }
[/mm]
Hier kannst du die Lösung direkt ablesen: Aus Zeile 2 folgt: -n=0, also n=0,
aus Zeile 1 folgt 20m=0, also m=0
die eindeutige Lösung ist also [mm] \vektor{m \\ n}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Bei Aufgabe (1) geht das analog, ist nur mehr Rechenaufwand, ich mach mal den Anfang:
Das Gleichungssystem entspricht in Matrixschreibweise:
[mm] \pmat{ 18 & 1 & 0 & 0 \\ 243 & 18 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 216 & 36 & 6 & 1}\cdot{}\vektor{a \\ b \\ c \\ d}=\vektor{0 \\ 6,5 \\ 12 \\ 60}
[/mm]
Also ist die erweiterte Koeffizientenmatrix:
[mm] \pmat{ 18 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 243 & 18 & 1 & 0 & | & 6,5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 12 \\ 216 & 36 & 6 & 1 & | & 60} [/mm] Hier addiere ich das -12fache der ersten Zeile zur vierten Zeile und vertausche anschließend die dritte und vierte Zeile:
[mm] \pmat{ 18 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 243 & 18 & 1 & 0 & | & 6,5 \\ 0 & 24 & 6 & 1 & | & 60 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 12} [/mm] Hier addiere das -1fache der vierten Zeile zur dritten Zeile
[mm] \pmat{ 18 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 243 & 18 & 1 & 0 & | & 6,5 \\ 0 & 24 & 6 & 0 & | & 48 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 12} [/mm] Nun [mm] \bruch{1}{6}\cdot{}Zeile [/mm] 3 ergibt
[mm] \pmat{ 18 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 243 & 18 & 1 & 0 & | & 6,5 \\ 0 & 4 & 1 & 0 & | & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 12} [/mm] Hier addiere das 27fache der ersten Zeile zum -2fachen der 2ten Zeile
Den Rest biegst du hin ... 
Versuche, alle Einträge dahin gehend zu eliminieren, dass unterhalb des ersten Eintrags einer Zeile nur noch Nullen stehen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 So 11.03.2007 | | Autor: | Kathy43 |
Also, ehrlich gesagt verstehe ich nur Bahnhof und ich glaube wir haben das in der Schule irgendwie anders gemacht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 So 11.03.2007 | | Autor: | barsch |
Der Weg von schachuzipus ist aber der Richtige. Ich kann mir nur vorstellen, dass ihr das ohne Matrix-Darstellung gelöst habt. Ich versuche einfach mal, es dir ohne Matrixschreibweise darzustellen, dass kann aber dauern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 So 11.03.2007 | | Autor: | Kathy43 |
Also nein, Matrix ist schon richtig. und in die linke untere Ecke muss ein dreieck mit nullen entstehen.
ich hab hier nen zettel mit nem beispiel, aber der hat mir bei meiner aufgabe nicht weiter geholfen
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Hallo Kathy,
das liegt vllt daran, dass in der Matrix, die in deiner 1.Aufgabe auftaucht, recht unübersichtliche Werte auftreten, aber versuche einfach mal, an dem Punkt, wo ich oben aufgehört habe, weiterzurechnen.
Wenn du diese Dreiecksform erreicht hast, dann kannst du die Lösungen für d,c,b,a sukzessive von dem rechten unteren Eintrag der Matrix hin zum linken oberen berechnen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 11.03.2007 | | Autor: | Kathy43 |
Ja, aber das Problem ist, ich verstehe nicht, warum du was gemacht hast. Bei dem 1. hast du geschrieben, dass du das
-12fache der ersten Zeile zur vierten Zeile addierst und dann die vierte mit der dritten vertauscht.
Warum wird das SO gemacht, dass versteh ich nicht, da muss doch nen Sinn hinterstehen. In der Schule genauso, wir machen verschiedene Aufgaben und in jeder Aufgabe macht unserer Lehrer verschiedene Schritte.
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Hallo und ruhig Blut
Also: welche Schritte du nun im einzelnen machst und in welcher Reihenfolge, ist doch egal.Hier führen viele Wege nach Rom, die einen schneller, die anderen über ein paar Nebenstraßen.
Ziel der Umformungen ist es halt, diese Dreiecksform hinzubekommen.
Nun waren in der zuerst aufgestellten Koeffizientnmatrix die Einträge in der dritten Zeile alle bis auf den letzten gleich 0.
Also kommt das Ding durch Zeilentausch ganz nach unten.
Damit haben wir schon mal die letzte Zeile für die Dreiecksform hingebastelt.
Dann ist mir aufgefallen, dass 216 ein Vielfaches von 18 ist, nämlich das 12fache. So, wenn ich nun die erste Zeile mit -12 multipliziere, ist der erste Eintrag -216. Das addiere ich zur vierten Zeile und paff, ist die 216 eliminiert. (du kannst ja mal aufschreiben wie die erste Zeile mal -12 aussieht und nachher wieder durch -12 teilen)
Nun haben wir unter der 18 schon 2 Nullen und müssen nur noch die 243 raushauen. Es ist 486 das kgV(18,243), also boxen wir die 243 raus, indem wir das 27fache der ersten Zeile [mm] (27\cdot{}18=486) [/mm] zum -2fachen der zweiten Zeile addieren [mm] (-2\cdot{}243=-486). [/mm] Dann addieren sich die Einträge in der ersten Spalte von Zeile 1 und Zeile 2 zu Null. (Die Änderungen der restlichen Einträge bei diesem Rechenschritt musst du berechnen ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]") )
Schon steht in der Matrix oben links eine 18 und darunter lauter Nullen.
Nun kümmere dich um die weiteren Einträge, so dass unter dem Eintrag in der 2.Spalte der 2. Zeile nur noch Nullen bleiben.
Probier's einfach mal. Bissl rechnen musste da schon
Hoffe, du kommst damit weiter
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 So 11.03.2007 | | Autor: | Kathy43 |
Danke, ich werds jetzt nochmal in ruhe ausprobieren, und wenn ichs immer noch nicht verstehe komm ich nochmal wieder!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 So 11.03.2007 | | Autor: | barsch |
Dann verstehe ich dein Problem nicht, sorry.
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