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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 So 10.02.2013 | | Autor: | Klerk91 |
| Aufgabe | Hallo.
oft war es bei uns schon notwendig zu argumentieren, dass man eine Matrix auch ohne Skalarmultiplikation und Zeilentausch auf Treppenform bringen kann. Leider haben wir den Gauß-Algorithmus nur mit diesen 2 zusätzlichen Techniken bewiesen. Insbesondere ging es mir aber schon so, dass ich das oft annehmen musste, wenn ich Aussagen über die Determinante von Matrizen machen musste und dabei die Matrix auf Diagonalgestalt bringen musste. Dabei musste ich jedoch stets annehmen, dass die Determinante nicht verändert wird, d.h. keine Vertauschungen und keine Skalarmultiplikation. |
Ich suche jetzt also zwei gute Arguemente oder vllt kleine Beweise, die schnell plausibel machen, dass Vertauschungen nicht notwendig sind und Skalarmultiplikation ebenso. Möglicherweise kann man ja beide durch das Hinzuaddieren eines Vielfachen zu einer Zeile ersetzen. Bin da allerdings noch nicht wirklich weiter gekommen. Würde mich freuen, wenn jemand eine Anregung diesbezüglich hätte.
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Hallo,
> Hallo.
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> oft war es bei uns schon notwendig zu argumentieren, dass
> man eine Matrix auch ohne Skalarmultiplikation und
> Zeilentausch auf Treppenform bringen kann. Leider haben wir
> den Gauß-Algorithmus nur mit diesen 2 zusätzlichen
> Techniken bewiesen. Insbesondere ging es mir aber schon so,
> dass ich das oft annehmen musste, wenn ich Aussagen über
> die Determinante von Matrizen machen musste und dabei die
> Matrix auf Diagonalgestalt bringen musste. Dabei musste ich
> jedoch stets annehmen, dass die Determinante nicht
> verändert wird, d.h. keine Vertauschungen und keine
> Skalarmultiplikation.
> Ich suche jetzt also zwei gute Arguemente oder vllt kleine
> Beweise, die schnell plausibel machen, dass Vertauschungen
> nicht notwendig sind und Skalarmultiplikation ebenso.
> Möglicherweise kann man ja beide durch das Hinzuaddieren
> eines Vielfachen zu einer Zeile ersetzen.
Dass Zeilentausch beim Gauß-Algorithmus der Bequemlichkeit dienen, sollte klar sein. Aber wie willst du bspw. ohne Multiplikation einer Zeile auskommen für den Fall, dass die entsprechende Spalte, wo du gerade eliminieren möchtest, mit inkommensurablen Größen besetzt ist, also etwa in einer Zeile [mm] \wurzel{2}, [/mm] in der anderen [mm] \pi [/mm] stehen hat?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 10.02.2013 | | Autor: | Klerk91 |
indem ich das wurzel(2)/pi-fache der einen von der anderen subtrahiere?
außerdem muss meine Treppenform ja nicht normiert. sein, d.h. auf den pivot-stellen müssen keine einsen stehen. die frage ist ja lediglich, wie mache ich das in einer klausur oder ähnlichem dem korrektor klar? und da müsste ich jetzt eben eine explizite vorschrift haben, wie man zeilentausch ersetzt und klar macht, dass man das andere nicht braucht, wozu auch? insb. zeilentausch ist ja hier relevant.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 So 10.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> indem ich das wurzel(2)/pi-fache der einen von der anderen
> subtrahiere?
Aber da steckt doch schon die Multiplikationj einer Zeile mit einem Skalar in deiner Überlegung drin?
> außerdem muss meine Treppenform ja nicht normiert. sein,
> d.h. auf den pivot-stellen müssen keine einsen stehen. die
> frage ist ja lediglich, wie mache ich das in einer klausur
> oder ähnlichem dem korrektor klar? und da müsste ich
> jetzt eben eine explizite vorschrift haben, wie man
> zeilentausch ersetzt und klar macht, dass man das andere
> nicht braucht, wozu auch? insb. zeilentausch ist ja hier
> relevant.
Ich glaube, ich habe dein Anliegen noch nicht ganz verstanden, ich lasse auf unbeantwortet, aber versuche vielleicht mal, das noch zu präzisieren.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 So 10.02.2013 | | Autor: | Klerk91 |
Ich unterscheide zwischen folgenden operationen
Multiplikation von Zeile mit Skalar
Vertauschen zweier Zeilen
und Addition/Subtraktion eines lambda-fachen einer Zeile zu/von einer anderen.
Die ersten beiden ändern die Determinante die dritte nicht. Ich will pauschal zeigen können, dass ich nur die dritte brauche um eine Matrix auf Treppenform zu bringen. Dazu muss ich zeigen, dass im Gauß-Algorithmus die ersten beiden Operationen entbehrlich sind.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 So 10.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
an einem einfachen, leicht zu verallgemeinerndem Beispiel gezeigt :
Wenn du bei der Matrix A = [mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] zuerst die zweite Zeile zur ersten addierst und anschließend die neue erste Zeile von der zweiten subtrahierst erhälst du die Matrix B = [mm] \pmat{ 3 & 6 \\ 0 & -2 } [/mm] mit gleicher Determinante in ZSF.
Ist es das was du gesucht hast ?
Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 So 10.02.2013 | | Autor: | Rubikon |
Hallo,
kennst du dich mit Elementarmatrizen aus? man konstruiert Matrizen deren Multiplikation miteinander oder mit einer anderen Matrix mit elementaren Zeilen/Spaltenoperation identifiziert werden kann.
Mit diesen Matrizen kann man dann auch zum Beispiel zeigen, dass die Elementarmatrix die ein Vertauschen von zwei Zeilen leistet ein Produkt von zwei anderen Elemntarmatrizen ist (die für die Addition von Zeilen und die für die Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar).
Im Grunde kommst du also beim Gauß-Algorithmus mit diesen beiden letzteren Matrizen/Operationen aus. Ob noch andere verzichtbar sind weiß ich nicht.
Gruß Rubikon
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