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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Sa 16.05.2009 | | Autor: | one |
| Aufgabe | | Sei S [mm] \subset \IR^{3} [/mm] eine reguläre, kompakte und orientierbare Fläche, die nicht homöomorph zu einer Sphäre ist. Beweise, dass es in S Punkte mit positiver, negativer und solche mit verschwindender gaussscher Krümmung gibt. |
Da S eine reguläre, kompakte und orientierbare Fläche ist, kann ich den Satz von Gauss vereinfacht schreiben:
[mm] \integral \integral_{S}{K dt} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] * [mm] \chi(S).
[/mm]
Da S nicht homöomorph zu einer Sphäre ist, folgt:
[mm] \chi(s) \le [/mm] 0, also [mm] \chi(S) \in [/mm] {0, -2, -4,...}
Doch wie kann ich nun zeigen, dass es in S Punkte mit positiver, negativer und solche mit verschwindender gaussscher Krümmung gibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Sa 16.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\integral \integral_{S}{K dt}[/mm] = [mm]2\pi[/mm] * [mm]\chi(S).[/mm]
>
> Da S nicht homöomorph zu einer Sphäre ist, folgt:
>
> [mm]\chi(s) \le[/mm] 0, also [mm]\chi(S) \in[/mm] {0, -2, -4,...}
>
> Doch wie kann ich nun zeigen, dass es in S Punkte mit
> positiver, negativer und solche mit verschwindender
> gaussscher Krümmung gibt?
Du hast ja obiges Integral über K, welches nicht-positiv ist. Da K stetig (sogar diffbar) ist, reicht für die Aussage einen Punkt zu finden, in dem K echt positiv ist. Wie man den findet, hängt etwas von allen bekannten Methoden ab. Wohl einen Punkt finden, in dem die Hauptkrümmungen beide positiv sind. Ich hoffe, das hilft als Anstoß.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Sa 16.05.2009 | | Autor: | one |
Ja also da ist mir etwas noch nicht ganz klar:
> Du hast ja obiges Integral über K, welches nicht-positiv
> ist.
Weshalb ist das Integral über K nicht-positiv?
> Da K stetig (sogar diffbar) ist, reicht für die
> Aussage einen Punkt zu finden, in dem K echt positiv ist.
> Wie man den findet, hängt etwas von allen bekannten
> Methoden ab. Wohl einen Punkt finden, in dem die
> Hauptkrümmungen beide positiv sind.
Es gilt ja: K = [mm] k_1 [/mm] * [mm] k_2, [/mm] wobei [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] die Hauptkrümmungen sind.
Kann ich nun einfach annehmen, dass es einen solchen Punkt gibt auf meiner Fläche? Ich habe ja keine Ahnung, wie die Fläche S aussehen könnte.
Oder existiert ein solcher Punkt, weil die Fläche kompakt ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Sa 16.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> > Du hast ja obiges Integral über K, welches nicht-positiv
> > ist.
>
> Weshalb ist das Integral über K nicht-positiv?
[m]\chi(X)\le 0[/m] - daher.
> Kann ich nun einfach annehmen, dass es einen solchen Punkt
> gibt auf meiner Fläche?
Nein, man muss zeigen, dass es so einen gibt.
> Oder existiert ein solcher Punkt, weil die Fläche kompakt
> ist?
Ja, Kompaktheit geht ein - ansonsten gibt es doch Gegenbeispiele, oder? Also Flächen, mit Hauptkrümmungen mit anderen Vorzeichen.
Betrachte doch mal für eine Fläche eine Höhenfunktion zB. Du musst Punkte finden, so dass die Fläche ganz auf einer Seite des Tangentialraums ist, versuche so etwas mal am Torus - also solche Punkte zu finden, zB mit einer Höhenfunktion.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Sa 16.05.2009 | | Autor: | one |
jo so schaff ichs dann glaub. 
Danke für deine Hilfe.
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