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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Fr 01.06.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Gegeben sei ein unendlich langer geladener Zylinder vom Radius R mit der Ladungsdichte
[mm]\varrho = \varrho{_{0}} \sin\left(\frac{r\,\pi}{R}\right)
[/mm]
(in Zylinderkoordinaten $r, [mm] \varphi, [/mm] z$).
a.) Berechnen Sie das Feld [mm] $\vec [/mm] E$, das von diesem Zylinder erzeugt wird, für innen und außen! |
Hallo,
das unbekannte elektrische Feld [mm] $E_r\left(r\right) \vec{e}_r [/mm] + [mm] E_z\left(z\right) \vec{e}_z$ [/mm] dieses unendlich langen Zylinders setzt sich doch nun aus den eben genannten Feld-Komponenten zusammen.
Frage: WEIL der Zylinder unendlich lang ist, kann ich Boden- und Deckelfläche vernachlässigen? Ich kenne die Feldkomponenten ja gar nicht!
Sonst müsste ich ja diesen Ansatz fahren und ich erhalte sehr viele Unbekannte!
Oder gibt es einen anderen Ansatz?
Ergänzung: Wenn ich tatsächlich mit allen "gegebenen" Komponenten "rechne", dann bleibt trotzdem nur die Radialkomponente des Feldes der Mantelfläche des Zylinders übrig! Außerdem bekomme ich ein uneigentliches Integral!
[mm]
\iint\limits_f \vec E \, \vec n \, \mathrm{d}f = \underbrace{E_r \left(r\right) \, r_H \int\limits_{0}^{\infty}\, \mathrm{d}z\int\limits_{0}^{2\pi} \, \mathrm{d}\varphi }_{\mathrm{Mantelfläche}}
[/mm]
Kann das sein? Wo ist mein Fehler?
Danke für Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Sa 02.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was weisst du ueber den Zusammenhang Feldstaerke an der Oberfl. eines Volumens und Ladung innerhalb?
lege einen geieigneten Zylinder in bzw um deinen geladenen Zylinder. denk daran: kein E in z Richtung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:59 Sa 02.06.2012 | | Autor: | murmel |
Hallo,
für die kontinuierliche Ladungsverteilung des Zylinders (nicht des Hüllzylinders!) muss ich dann aber doch über [mm] $\infty$ [/mm] integrieren, da der Zylinder, der die Ladungsverteilung trägt, unendlich lang ist! Oder trickst man auch hier wieder?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Sa 02.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Zylinder der Laenge l sind doch nur Ladungen auf l, die unendliche laenge brauchst du nur, damit duer die Zylinderdekel kein E geht., die Gesamtladung innerhalb des zyl musst du durch Integration ueber die Dichte*dV raukriegen. Zylinderkoordinaten.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Sa 02.06.2012 | | Autor: | murmel |
Ahh, ich muss lediglich einen Hüllzylinder der Länge [mm] $\ell$ [/mm] wählen, der den unendlich langen Zylinder umschließt!
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Es ist wohlbekannt, dass der Innenraum feldfrei ist (Faradayscher Käfig). Um das Feld im Äußeren zu berechnen, betrachtest du, wie du es schon getan hast, einen weiteren Hohlzylinder mit Radius [mm] \[R>r\]. [/mm] Der elektrische Fluss ist dann
[mm] \[\Phi=\iint \vec{E}d\vec{f}=2\pi R*|\vec{E}|\]
[/mm]
Die Ladung für die Zylinderlänge [mm] \[s\] [/mm] beträgt
[mm] \[Q=\lambda*s\]
[/mm]
, wo [mm] \[\lambda\] [/mm] die Ladung pro Längeneinheit ist. Jetzt ziehst du das Gaußsche Gesetz heran und bist fertig:
[mm] \[|\vec{E}|=\bruch{1}{2\pi\epsilon_{0}}\bruch{\lambda}{R}\]
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Sa 02.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
der innenraum ist hier nicht feldfrei, kein leiter sondern mit [mm] \rho [/mm] geladener nichtleiter!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Sa 02.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schneidet, nicht umschliesst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 03.06.2012 | | Autor: | murmel |
Danke für eure Antworten!
Eine etwas andere Frage, wenn ich zwei konzentrische angeordnete Zylinder habe (beide unendlich lang!), der Innere hat die Ladungsverteilung [mm] $\varrho_0\,\sin\left(\frac{r\,\pi}{R}\right)$ [/mm] mit Radius [mm] $R_1$ [/mm] und der Äußere eine homogene Ladungsverteilung [mm] $\varrho_0$ [/mm] mit Radius [mm] $R_2$, [/mm] gilt dann IMMER noch, das nur im Zwischenraum ein messbares (superpositioniertes) Feld [mm] $E^{\mathrm{Superpos.}}_r$ [/mm] existiert oder funktioniert die Abschirmung (Farraday'scher Käfig) nur bei gleichen Ladungsverteilungen (Hier sind die Ladungsverteilungen schließlich unterschiedlich!)?
Dies würde für den Innenraum ($r [mm] \in [0,R_1]$) [/mm] bedeuten, dass dieser feldfrei ist!
Jedoch existiert doch auch für [mm] $E^{\mathrm{Aussen}}_r$ [/mm] mit $r [mm] \in [R_2,\infty]$ [/mm] ein messbares Feld! Stimmt das?
Frage zur Stetigkeit der Felder: wenn im Außenraum ein elektrisches Feld [mm] $E^{\mathrm{Aussen}}_r$ [/mm] existiert, wird der Verlauf der Felder gemäß der Vorgaben mit [mm] $E^{\mathrm{Aussen}}_r$ [/mm] für den Rand (Radius [mm] $R_2$) [/mm] und [mm] $E^{\mathrm{Superpos.}}_r$ [/mm] ebenfalls für den Rand (mit Radius [mm] $R_2$) [/mm] stetig sein?
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 So 03.06.2012 | | Autor: | murmel |
Ich denke für $0 [mm] \leq [/mm] r [mm] \leq R_1$ [/mm] ist der Raum nicht feldfrei, wegen der Vorgabe für die Ladungsverteilung, die ja von $r$ abhängig ist!
Eigentlich sollten die Felder wegen der superpositionalen Gegebenheit stetig sein.
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Hallo!
> Danke für eure Antworten!
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> Eine etwas andere Frage, wenn ich zwei konzentrische
> angeordnete Zylinder habe (beide unendlich lang!), der
> Innere hat die Ladungsverteilung
> [mm]\varrho_0\,\sin\left(\frac{r\,\pi}{R}\right)[/mm] mit Radius [mm]R_1[/mm]
> und der Äußere eine homogene Ladungsverteilung [mm]\varrho_0[/mm]
> mit Radius [mm]R_2[/mm],
Was meinst du damit genau? Eine Raumladung, oder eine Ladung auf der Zylinderwand?
> gilt dann IMMER noch, das nur im
> Zwischenraum ein messbares (superpositioniertes) Feld
> [mm]E^{\mathrm{Superpos.}}_r[/mm] existiert oder funktioniert die
> Abschirmung (Farraday'scher Käfig) nur bei gleichen
> Ladungsverteilungen (Hier sind die Ladungsverteilungen
> schließlich unterschiedlich!)?
Du hast zwei unterschiedliche ladungsverteilungen, deshalb wird man auf jeden Fall auch außerhalb ein Feld messen.
Ein faradayscher Käfig ist das allerdings nicht, der besteht aus Metall...
Der innere Zylinder könnte die Verteilung [mm] \rho=\rho_0*(\sin(\phi)+1) [/mm] auf seinem Mantel haben, also nicht radialsymmetrisch. Der äußere könnte eine konstante Verteilung auf seiner Oberfläche tragen, und zwar mit der gleichen Gesamtladung, aber umgekehrtem Vorzeichen. Nach außen hin ist das Gesamtgebilde dann zwar neutral, aber es gibt wegen der merkwürdigen Geometrie dennoch ein Feld, Stichwort Dipol!
In einem äußeren Metallzylinder verteilen sich die frei beweglichen Elektronen so, daß sie dem Feld des inneren entgegen wirken, damit bekommst du eine Abschirmung hin.
Dein Feld ist allerdings radialsymmetrisch, daher könntest du durch Aufbringen der exakt gleichen, Ladung mit entgegengesetztem Vorzeichen auf den Außenzylinder tatsächlich das Feld außerhalb abschirmen, und hättest dann außerhalb der beiden Zylinder kein Feld.
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> Dies würde für den Innenraum ([mm]r \in [0,R_1][/mm]) bedeuten,
> dass dieser feldfrei ist!
Weder in deiner ersten Aufgabe noch in diesem Fall hast du einen feldfreien Innenraum, du kannst höchstens einen feldfreien Außenraum erreichen. Vielleicht denkst du immernoch an den Faradayschen Käfig? Da kommts drauf an, ob die abzuschirmende Ladung innen oder außen ist, die erzeugt aber erstmal auf jeden Fall ein Feld.
> Jedoch existiert doch auch für [mm]E^{\mathrm{Aussen}}_r[/mm] mit [mm]r \in [R_2,\infty][/mm]
> ein messbares Feld! Stimmt das?
ja, wie oben gesagt.
>
> Frage zur Stetigkeit der Felder: wenn im Außenraum ein
> elektrisches Feld [mm]E^{\mathrm{Aussen}}_r[/mm] existiert, wird der
> Verlauf der Felder gemäß der Vorgaben mit
> [mm]E^{\mathrm{Aussen}}_r[/mm] für den Rand (Radius [mm]R_2[/mm]) und
> [mm]E^{\mathrm{Superpos.}}_r[/mm] ebenfalls für den Rand (mit
> Radius [mm]R_2[/mm]) stetig sein?
Wenn du es mathematisch betrachtest, also einen Außenzylinder, auf dessen Mantel eine Ladung sitzt, ist der Feldverlauf nicht stetig. denn beim Durchgang durch den Mantel kommt ja urplötzklich ein weiterer Summand zum Feld hinzu. In der Realität hast du es aber (makroskopisch) immer mit Ladungsverteilungen zu tun, das heißt, da kommt allmählich eine weitere Komponente hinzu, und dann ist das stetig.
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> Danke!
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