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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:39 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | Gauß-Tschebyscheff-Quadraturformel:
[mm] G_{m}(f) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{m} w_j*f(x_j) \approx \integral_{-1}^{1}{f(x)*w(x) dx} [/mm] = I(f;w), mit w(x) = [mm] \bruch{1}{\sqrt(1-x^2)}
[/mm]
Zeige, dass für die Gewichte gilt: [mm] w_j [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{m} [/mm] für j=1,...,m.
Tipp: Stelle das Gleichungssystem [mm] G_{m}(T_k) [/mm] = [mm] I(T_k;w) [/mm] für k = 0,...,m-1 auf, wobei [mm] T_{k}(x) [/mm] = cos(k*arccos(x)) das k-te Tschebyschef-Polynom ist.
Nutze weiterhin folgende Identität aus, um das Gleichungssystem eindeutig zu lösen:
[mm] \summe_{j=0}^{2m-1} e^{\bruch{ijk\pi}{m}} [/mm] = [mm] \begin{cases} 2m, & \mbox{für } k = 0 \\ 0, & \mbox{für } k=1,...,m-1 \end{cases}. [/mm] |
Hallo,
ich habe bei obiger Aufgabe etwas Probleme. Genauer gesagt weiß ich nicht so richtig wie ich diese Identität auf mein Gleichungssystem anwenden soll, da die Summengrenzen ja viel größer sind.
Bis jetzt habe ich herausgefunden, dass
[mm] G_{m}(T_k)=\summe_{j=1}^{m} w_j*cos(\bruch{(2j-1)*k*\pi}{2m}) [/mm] = [mm] \begin{cases} \pi, & \mbox{für } k=0 \\ 0, & \mbox{für } k > 0\end{cases}, [/mm] wobei ich hier schon die Knoten eingesetzt habe, nämlich die Nullstellen der Tschebyscheff-Polynome [mm] x_j=cos(\bruch{(2j-1)\pi}{2m}) [/mm] für j=1,...,m.
Dies ergibt sich aus der Orthogonalität der Tschebyscheff-Polynome.
Damit könnte man ja jetzt ein Gleichungssystem aufstellen, denn auf der linken Seite stehen die [mm] w_j [/mm] mit einem Faktor, der sich aus dem cos(...) ergibt und auf der rechten Seite die Nullen bzw. ein [mm] \pi. [/mm]
Desweiteren kenne ich Formel: cos(x) = [mm] \bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.
[/mm]
Nun habe ich schon lange versucht den Kosunisterm umzuformen, nur komme ich auf kein vernünftiges Ergebnis.
Ich meine herausgefunden zu haben, dass gilt:
[mm] \summe_{j=1}^{m} cos(\bruch{(2j-1)*k*\pi}{2m}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\summe_{j=0}^{2m-1} cos(\bruch{j*k*\pi}{m}), [/mm] was ja schon ein bisschen nach der Identität aussieht. Aber auch das hilft mir irgendwie nicht weiter.
Kann mir bitte jemand bei diesem Problem einen Tipp geben?
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 22.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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