Gauß. Glockenkurve integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Di 17.04.2012 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Fläche unter der Gaußschen Glockenkurve [mm] $f(x)=e^{-x^2}$ [/mm] im Intervall [0,1]. Entwickeln Sie den Integranden in eine Potenzreihe. Begründen Sie, warum Sie gliedweise integrieren dürfen. Berechnen Sie die Fläche näherungsweise, indem Sie die Entwicklung nach dem 6. Summanden abbrechen. |
Hallo,
wäre nett wenn mal jemand drüberschauen kann ob das so ok ist.
[mm] $f(x)=e^{-x^2}$
[/mm]
[mm] $\integral_{0}^{1}e^{-x^2}=\integral_0^1 \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-x^2)^k}{k!}$
[/mm]
[mm] $\sum_{k=0}^{5}\frac{(-x^2)^k}{k!}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}-\frac{x^{10}}{5!}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \integral_0^1 \sum_{k=0}^{5}\frac{(-x^2)^k}{k!}=\integral_0^1 \left(1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}-\frac{x^{10}}{5!}\right)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\frac{x^{11}}{1320}|_0^1$
[/mm]
$=0,746729$
Zur Begründung warum man es gliedweise Integrieren darf, weiß ich nicht genau was ich schreiben soll. Man kann ja eigentlich alle Potenzreihen gliedweise Integrieren oder nicht?
Schonmal danke für´s helfen ;)
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Hallo Trolli,
> Berechnen Sie die Fläche unter der Gaußschen Glockenkurve
> [mm]f(x)=e^{-x^2}[/mm] im Intervall [0,1]. Entwickeln Sie den
> Integranden in eine Potenzreihe. Begründen Sie, warum Sie
> gliedweise integrieren dürfen. Berechnen Sie die Fläche
> näherungsweise, indem Sie die Entwicklung nach dem 6.
> Summanden abbrechen.
> Hallo,
>
> wäre nett wenn mal jemand drüberschauen kann ob das so ok
> ist.
>
> [mm]f(x)=e^{-x^2}[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{1}e^{-x^2}=\integral_0^1 \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-x^2)^k}{k!}[/mm]
>
> [mm]\sum_{k=0}^{5}\frac{(-x^2)^k}{k!}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}-\frac{x^{10}}{5!}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_0^1 \sum_{k=0}^{5}\frac{(-x^2)^k}{k!}=\integral_0^1 \left(1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}-\frac{x^{10}}{5!}\right)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\frac{x^{11}}{1320}|_0^1[/mm]
>
> [mm]=0,746729[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zur Begründung warum man es gliedweise Integrieren darf,
> weiß ich nicht genau was ich schreiben soll. Man kann ja
> eigentlich alle Potenzreihen gliedweise Integrieren oder
> nicht?
>
In ihrem Konvergenzbereich, ja.
> Schonmal danke für´s helfen ;)
Gruss
MathePower
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